Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f06/lie5.ps
Дата изменения: Thu Jan 25 17:13:45 2007
Дата индексирования: Sat Dec 22 11:54:26 2007
Кодировка: koi8-r

ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ. ОСЕННИЙ СЕМЕСТР 2006
ЛИСТОК 5. ГРУППЫ ЛИ И ИХ КАСАТЕЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ.
Через K обозначено поле R или C , а через G группа Ли над K. Если группа Ли
обозначается большой латинской буквой, то её касательная алгебра обозначается
соответствующей маленькой готической буквой.
5.1. Рассмотрим естественное представление группы GL n (H ) в пространстве R-били-
нейных H -значных форм H
n
RH
n
RH . Покажите, что подпространство H -полутора-
линейных форм инвариантно относительно GL n (H ). Стабилизатор эрмитовой положи-
тельно определенной формы обозначается через Sp n и называется группой кватернионно-
унитарных матриц. Выпишите явно подпространство sp n = T e (Sp n ), докажите что оно
является подалгеброй Ли в gl n (H ). Опишите его комплексификацию (как алгебру Ли).
5.2. Докажите, что группы U n ; SU n ; O n ; SO n ; Sp n компактны, а группы SL n (R); Sp 2n (R);
O k;l ; U k;l ; SO k;l ; SU k;l и Sp k;l нет (последняя группа определяется аналогично группе Sp n ,
но для неопределенной формы).
5.3. а) Докажите, что группы GL n (C ); SL n (K); SO n (K); Sp n (K); Sp n ; U n ; SU n связны.
б) Покажите, что O k;l = O ф
k;l
= Z 2 Z 2 .
5.4. Докажите, что SL n (C ); Sp n (C ); Sp n ; SU n односвязны, а 1 (SO n (K)) = Z 2 для n > 2.
5.5 ! (Связная компонента единицы). Связную компоненту единицы в группе Ли
G обозначают через G ф . Очевидно, что это подгруппа Ли в G.
а) G ф совпадает с наименьшей нормальной подгруппой H G, для которой фактор-
группа G=H дискретна.
б) Действие группы G ф на связном однородном пространстве группы G транзитивно.
5.6 ! (Группы автоморфизмов групп Ли). Пусть G | связная группа Ли над K.
а) Докажите, что взятие дифференциала в единице определяет мономорфизм Aut(G)
,! Aut(g), который является биекцией для односвязной группы G.
б*) Докажите, что для произвольной группы G образ Aut(G) в Aut(g) является под-
группой Ли. Это задает на Aut(G) структуру группы Ли. Докажите, что если Z(G) |
дискретная группа, то Aut(g) ф Aut(G), и постройте контрпример в общем случае.
в) Пусть задан гомоморфизм H ! Aut(G). Докажите, что H ! Aut(g) | гомомор-
физм групп Ли тогда и только тогда, когда соответствующее действие H : G является
действием группы Ли.
г) Если алгебра Ли h полупроста, то существует группа Ли H с Lie(H) = h.
5.7 ! (Полупрямые произведения). а) Пусть G 1 ; G 2 | группы Ли над K, и :
G 1 ! Aut(G 2 ) | гомоморфизм групп Ли. Докажите, что полупрямое произведение
групп G := G 1 i G 2 наделяется естественной структурой группы Ли. При этом G 1
отождествляется с подгруппой Ли, а G 2 | с нормальной подгруппой Ли в G.
б) Покажите, далее, что g = Lie(G) отождествляется с полупрямым произведением
g 1 n ' g 2 ; g i = Lie(G i ), ' : g 1 ! Der(g 2 ) | дифференциал гомоморфизма G 1 ! Aut(g 2 ),
который, в свою очередь, является композицией и вложения Aut(G 2 ) ,! Aut(g 2 ),
построенного выше.
в) Если G | группа Ли, G 1 ; G 2 | подгруппы Ли в G, G 2 нормальна, и G = G 1 G 2 ; G 1 \
G 2 = feg, то G изоморфна полупрямому произведению G 1 и G 2 .
1

2 ЛИСТОК 5. ГРУППЫ ЛИ И ИХ КАСАТЕЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ.
г) Пусть g 1 ; g 2 |алгебры Ли, а G 1 ; G 2 | соответствующие односвязные группы Ли.
Пусть, далее, ' : g 1 ! Der(g 2 ) | гомоморфизм алгебр Ли. Покажите, что существует
гомоморфизм : G 1 ! Aut(G 2 ) групп Ли, для которого g 1 n ' g 2 = Lie(G 1 i G 2 ).
5.8 ! . Пусть g | разрешимая алгебра Ли. Докажите, что найдется группа Ли G с
Lie(G) = g. Если эта группа односвязна, то она диффеоморфна R dimg .
5.9 ! . Докажите, что для любой алгебры Ли g существует группа Ли G с Lie(G) = g.
5.10. Пусть g | подалгебра в алгебре Ли строго верхнетреугольных матриц. До-
кажите, что exp(g) является подгруппой Ли в группе верхнетреугольных матриц с
касательной алгеброй g. Докажите, далее, что exp : g ! exp(g) является диффеомор-
физмом.
5.11. Докажите, что экспоненциальное отображение exp : gl n (C ) ! GL n (C ) не явля-
ется субмерсией.
5.12. Классифицируйте, с точностью до изоморфизма, все связные коммутативные
группы Ли над K.
5.13. Докажите, что компактная комплексная группа Ли является комплексным тором
C n =, где | решетка в C n ранга 2n.
5.14. Докажите, что связная компактная группа Ли, совпадающая со своим коммутан-
том, полупроста. То же для связной компактной группы с дискретным центром.
5.15 (Векторные поля скоростей). Пусть группа Ли G действует на многообразии
X. Для 2 g определим векторное поле скоростей следующим образом: выберем
кривую (t) G с (0) = e; d
dt
(t)j t=0 = и для x 2 X положим x = d
dt
(t)x. До-
кажите, что конструкция фунториальна в следующем смысле: если ' : X ! Y |
G-эквивариантное гладкое отображение, то d x '( x ) = '(x) . Докажите, далее, что
отображение 7! является гомоморфизмом алгебр Ли.
5.16 ! . Пусть H | связная подгруппа Ли в группе Ли G. Тогда ZG (H) = ZG (h) := fg 2
Gj Ad(g)h h; Ad(g)j h
= idg, а алгебра Ли этой группы совпадает с z g
(h).
5.17. Пусть G | группа Ли, и 2 Aut(G). Тогда алгеброй Ли группы -неподвижных
точек в G является подалгебра d-неподвижных точек в g.
5.18. Докажите, что связная группа Ли нильпотентна (т.е. ряд B i G с B 1 G = G; B i+1 G =
(G; B i G) обрывается) тогда и только тогда, когда её алгебра Ли нильпотентна.
5.19 (Ещё одно доказательство теоремы Ли). Для линейной группы Ли G
GL(V ) и её характера (т.е. одномерного представления) положим V := fv 2 V jgv =
(g)v; 8g 2 Gg. Докажите, что группа N GL(V ) (G) переставляет пространства V . Вы-
ведите отсюда доказательство теоремы Ли.
5.20. Докажите, что связная разрешимая группа Ли над R содержит нормальную под-
группу Ли коразмерности 1.
5.21*. Пусть G | связная разрешимая вещественная группа Ли, H | её связная нор-
мальная подгруппа Ли коразмерности 1. Докажите, что в G найдется одномерная
подгруппа F , для которой G = H h F .