Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f06/lie7.ps Дата изменения: Thu Jan 25 17:13:45 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:54:46 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ. ОСЕННИЙ СЕМЕСТР 2006.
ЛИСТОК 7. АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ.
Основное поле | C . Через A обозначена обобщенная матрица Картана размера rr.
Через e i ; f i указаны образующие алгебр g(A); e g(A).
7.1. Докажите, что подалгебра e n+  e g(A) свободно порождается элементами e 1 ; : : : ; e r
1 .
7.2 (Соотношения Серра). Пусть A | матрица Картана. Докажите, что ядро
эпиморфизма e g(A) ! g(A) порождается элементами ad(e i ) 1 a ij e j ; ad(f i ) 1 a ij f j
2 .
7.3 (Нескрученные аффинные алгебры Каца-Муди). Пусть A | матрица Кар-
тана, A (1) | обобщенная матрица Картана, соответствующая расширенной схеме Дын-
кина (см. задачу 6 1
2 .5). Пусть g = g(A). Рассмотрим алгебру b g =
g
C [t; t 1 ]C KC d,
в которой коммутатор задан следующим образом:
[x
t n ;
y
t m ] = [x;
y]
t n+m + (x; y)ф m+n;0 K;
[K; b g] = 0;
[d;
x
t n ] =
nx
t n :
Здесь (
;
) | инвариантная симметрическая невырожденная билинейная форма на g,
нормализованная условием ( _ ;  _ ) = 2 для корня  максимальной длины.
а) Докажите, что b g действительно является алгеброй Ли.
б) В качестве картановской подалгебры мы берем tC K C d, где t | картановская
подалгебра в g. Опишите соответствующее корневое разложение.
в) Докажите, что b g  = g(A (1) ).
7.4 (Автоморфизмы полупростых алгебр Ли). Пусть g | (конечномерная) полу-
простая алгебра Ли, t | её картановская подалгебра, и  | система простых корней,

+ | система положительных корней, b = t 
L
2
+ g  | борелевская подалгебра,
G = Aut(g) ф .
а) Пусть | подгруппа в O(t(R)), состоящая из всех элементов, которые оста-
вляют на месте . Постройте подходящее вложение  : ,! Aut(G), для которого
( ) оставляет на месте t(R) и при ограничении на t(R) совпадает с . Покажите, что
Aut(g) = G.
б) Вычислите группы для простых алгебр Ли 3 .
в) Докажите, что ZG (t) | связная группа.
г) Инволюцией Вейля называется инволютивный автоморфизм алгебры g, который
оставляет на месте t и действует на t умножением на 1. Докажите, что инволюция
Вейля существует.
1 Указание: постройте подходящее представление e g(A) в тензорной алгебре T (e 1 ; : : : ; e r ).
2 Комментарий: на самом деле, этот факт верен и для более широкого класса симметризуемых
обощенных матриц Картана, см. задачу 7.8.
3 Подсказка: называется группой диаграммных автоморфизмов.
1

2 ЛИСТОК 7. АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ.
7.5 (Компактные формы). Мы придерживаемся обозначений предыдущей задачи.
а) Докажите, что существует полулинейное отображение  : g ! g, которое является
изоморфизмом g как вещественной алгебры Ли, и для которого j t
= id; (e i ) =
f i ; (f i ) = e i .
б) Положим k = g
 . Тогда kik = g, иными словами, k является вешественной формой
алгебры g.
в) Докажите, что форма Киллинга на k отрицательно определена.
г) Докажите, что k является алгеброй Ли связной компактной подгруппы в G.
7.6. Пусть A 1 ; A 2 | обобщенные матрицы Картана. Докажите, что g(A 1 )  g(A 2 )
является алгеброй Каца-Муди для подходящей обобщенной матрицы Картана.
7.7. Пусть A| неразложимая обобщенная матрица Картана. Докажите, что z(g(A)) 
D(g(A)), а фактор D(g(A))=z(g(A)) прост.
7.8 (Инвариантная форма). Пусть A | неразложимая обобщенная матрица Кар-
тана, для которой существует такая диагональная матрица D, что матрица D 1 A сим-
метрическая (в этом случае говорят, что A симметризуема).
a*) Докажите, что на g(A) существует невырожденная симметрическая билинейная
форма.
б) Проверьте, что аффинные матрицы Картана (соответствующие аффинным схе-
мам Дынкина) симметризуемы.