Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f07/geo_s2.ps Дата изменения: Wed Sep 19 12:47:46 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:05:25 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОМЕТРИЯ, ОСЕНЬ 2007 Г.
2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
1. Общие понятия, связанные с группами преобразований
Группа преобразований множества M это множество G обратимых отображений множества M таких,
что для любых двух отображений g; h 2 G их композиция gh 2 G, и если g 2 G, то и обратное отображение
g 1 2 G. В частности, всякая группа преобразований содержит тождественное отображение id M = gg 1 .
Задача 1. Назовем точки a; b 2 M эквивалентными (относительно группы преобразований G), если 9g 2 G :
b = g(a). а) Докажите, что это | отношение эквивалентности (a  a, a  b ) b  a, a  b и b  c ) a  c).
б) Докажите, что для любого отношения эквивалентности  на (произвольном) множестве M существует
разбиение M = F
 M множества на непересекающиеся подмножества такое, что a  b , 9 : a; b 2 M .
Классы эквивалентности по отношению  называются орбитами группы преобразований G. Группа пре-
образований называется транзитивной, если она имеет только одну орбиту.
Задача 2. Пусть G | группа преобразований, а h : M ! M | произвольное обратимое преобразование.
Докажите, что множество hGh 1 def
= fhxh 1 j x 2 Gg является группой преобразований (она называется
группой, сопряженной к G посредством h).
Для произвольного подмножества N  M и произвольной группы G преобразований множества M назо-
вем нормализатором N множество NormG (N ) преобразований g 2 G таких, что g(N ) = N . Нормализатор
одноточечного множества N = fag называется стабилизатором точки и обозначается Stab a .
Задача 3. а) Докажите, что нормализатор произвольного множества | группа преобразований (подгруппа
группы G). б) Докажите, что если точки a и b принадлежат одной орбите, то подгруппы Stab b и Stab a
сопряжены: существует h 2 G такое, что Stab b = h Stab a h 1 .
Подгруппа H  G группы преобразований называется нормальной, если gHg 1 = H для всякого g 2 G.
Задача 4. Группа преобразований G транзитивна. В каком случае стабилизатор Stab a  G является нор-
мальной подгруппой?
2. Группа обратимых аффинных преобразований
Пусть M | центрально симметричный шестиугольник, у которого каждая большая диагональ параллель-
на тем сторонам, которые ее не пересекают. Обозначим G нормализатор M в группе обратимых аффинных
преобразований плоскости.
Задача 5. а) Из скольких элементов состоит группа G? б) Опишите орбиты G. в) Докажите, что всякий
элемент группы G переводит произвольную диагональ M в диагональ. г) Из пункта 5в следует, что груп-
пе G соответствует группа преобразований на множестве диагоналей M . Опишите орбиты этой группы.
д) Вопрос, аналогичный 5в и 5г, для множества треугольников с вершинами в вершинах M .
Сокращенно вопросы, подобные 5г, формулируют так: \найдите орбиты действия группы G на диагона-
лях шестиугольника".
Задача 6. Найдите орбиты действия группы GL(n) обратимых линейных преобразований R n на множестве
а) векторов v 2 R n , б) пар векторов v 1 ; v 2 2 R n , в) троек векторов v 1 ; v 2 ; v 3 2 R n . Достаточно рассмотреть
случаи n = 1; 2 и 3.
Задача 7. Вычислите количество элементов в нормализаторе а) правильного n-угольника в группе обра-
тимых аффинных преобразований плоскости, б) правильного тетраэдра в группе обратимых аффинных
преобразований R 3 , в) куба в той же группе, г) правильного симплекса в группе обратимых аффинных
преобразований R n . Правильным симплексом называется co(a 1 ; : : : ; an+1 ), где a 1 ; : : : ; an+1 2 R n таковы, что
ja i a j j одно и то же для всех пар i 6= j.
Задача 8* (для знакомых с теорией групп). Опишите нормализаторы в задаче 7 как (абстрактные) группы.
Полным флагом в правильном многограннике M называется последовательность его граней F 0  F 1 



 Fn , где грань F i имеет размерность i и Fn = M .
1

Задача 9. а) Докажите, что каждая из групп преобразований, описанных в задаче 7, действует транзитивно
на множестве полных флагов соответствующего многогранника. б) Докажите, что нормализатор любого
полного флага в задаче 7 тривиален.
Многогранник, нормализатор которого в соответствующей группе обратимых аффинных преобразований
обладает свойствами 9а и 9б, называется правильным.
Пусть H | гиперплоскость в R 4 , заданная уравнением x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0, а I def
= f(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) j
jx 1 j ; : : : ; jx 4 j  1g | четырехмерный куб. Обозначим M = I \H (главное сечение куба).
Задача 10. Пусть f 1 = (1; 1; 1; 1), f 2 = (1; 1; 1; 1), f 3 = (1; 1; 1; 1). а) Докажите, что M = fy 1 f 1 +
y 2 f 2 + y 3 f 3 j jy 1  y 2  y 3 j  1g (всего 4 условия с модулем). б) Докажите, что M | многогранник.
Задача 11. а) Опишите вершины, ребра, двумерные и трехмерные грани куба I. б) Опишите вершины,
ребра и двумерные грани многогранника M .
Задача 12. а) Докажите, что нормализатор G = Norm A(4) (M ) в группе обратимых аффинных преобразо-
ваний R 4 транзитивно действует на множестве вершин M . б) Для произвольной вершины a 2 M докажите,
что ее нормализатор G 0 = NormG (a) в группе G действует транзитивно на множестве ребер, выходящих
из этой вершины. в) Для произвольного ребра b, выходящего из вершины a, докажите, что нормализатор
G 1 = NormG0 (b) в группе G 0 действует транзитивно на двумерных гранях, содержащих ребро b. г) Дока-
жите, что многогранник M правильный. Как он называется?
Указание. Достаточно рассмотреть аффинные преобразования, сохраняющие как I, так и H.