Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f08/ho_ho.ps Дата изменения: Thu Apr 2 12:12:24 2009 Дата индексирования: Tue Aug 18 12:20:58 2009 Кодировка: koi8-r

Гомологии Хованова { User's Guide
А. Кустарев
1 Что это? 1
2 Определения 2
3 Свойства 4
4 Вычисление для зацепления Хопфа 5
5 Полином Джонса и скобка Кауфмана 6
6 Длинная точная последовательность 7
1 Что это?
Гомологии Хованова Kh i;j (L) узла или ориентированного зацепления L {
это группы гомологий биградуированного цепного комплекса CKh i;j (L),
строящегося по некоторой плоской диаграмме L. Дифференциал в этом
комплексе имеет бистепень (1; 0). Соответствующие комплексы различ-
ных диаграмм одного зацепления квазиизоморфны, поэтому гомологии
Хованова являются инвариантом зацепления L.
Если L { узел, то его гомологии Хованова не зависят от ориентации.
Если L { ориентированное зацепление, то при изменении ориентаций
одной или нескольких компонент L гомологии Хованова практически не
меняются, происходит лишь сдвиг по градуировкам.
Основной факт о гомологиях Хованова состоит в том, что их граду-
ированная эйлерова характеристика совпадает с (ненормализованным)
полиномом Джонса:
#
i;j#Z
(-1) i dimKh i;j (L)q j = #
i;j#Z
(-1) i dimCKh i;j (L)q j = ~
J(L):
1

Гомологии Хованова были определены в [1]. Большую известность
получила работа [2], где, в частности, вычислены гомологии Хованова
всех узлов с менее, чем 11 перекрестками. На английском языке есть
очень хорошие лекции [3], а также более современные [4]. В работе [5]
при помощи гомологий Хованова была доказана гипотеза Милнора о
роде торического узла (первое неаналитическое доказательство этого
утверждения).
2 Определения
Рассмотрим плоскую диаграмму D ориентированного зацепления L, пе-
ресечения которой занумерованы числами от 1 до k. Тогда каждой вер-
шине k-мерного куба {0; 1} k можно сопоставить разрешение диаграммы
D, в котором каждый перекресток разрешается по следующему правилу:
0
1
Если v { вершина куба {0; 1} k , то мы будем обозначать соответствующее
разрешение диаграммы также за v. При этом определении каждому ре-
бру куба разрешений соответствует морсовская перестройка индекса 1
(седло) между соответствующими разрешениями. Все ребра куба счи-
таются ориентированными: если вершины v 0 и v 1 различаются только
в одной координате, то ребро ведет в ту вершину, в которой больше
единиц.
Конструкция Хованова сопоставляет каждой вершине v векторное
пространство A(v), а каждому ребру e : v 0 # v 1 { линейное отображе-
ние A e : A(v 0 ) # A(v 1 ) следующим образом. Пусть V =< v - ; v + > {
двумерное векторное пространство над Q, на котором заданы две опе-
рации m и
{ умножение и коумножение:
m(v-# v - ) = 0
m(v-# v + ) =
m(v+# v - ) = v -
m(v+# v + ) = v +

(v- ) = v
-# v -

(v+ ) = v
-# v + + v
+# v -
2

Хотя это не имеет прямого отношения к дальнейшей конструкции,
отметим, что V является алгеброй Фробениуса с единицей v + { и следо-
вательно, дает пример (1+1)-мерной TQFT . Но при этом V не является
алгеброй Хопфа.
Вернемся к построению гомологий. Пусть c(v) { число окружно-
стей в разрешении v диаграммы D. Мы определяем A(v) как векторное
пространство
V# c(v) . Каждая перестройка индекса 1, соответствующая
ребру, изменяет число окружностей на 1: либо какая-то окружность
разрешения распадается на две, либо две сливаются в одну. Мы пола-
гаем A e тождественным на тензорных сомножителях, соответствующих
окружностям, не затрагиваемым перестройкой. Если две окружности
разрешения сливаются в одну, то A e действует на двух соответствую-
щих сомножителях умножением m, если одна окружность распадается
на две { то
.
Мы определяем комплекс CKh(D) как прямую сумму пространств
A(v) по всем вершинам v # {0; 1} k , а дифференциал d { по правилу
d(x) = #
v-начало e i
(-1) s(e i ) A e i
(x):
Здесь x лежит в пространстве A(v), суммирование ведется по всем
ребрам куба e i , выходящим из вершины v, а число s(e i ) равно числу
единиц в координатах v слева от координаты, меняющейся при проходе
ребра e i .
Непосредственно проверяется, что d 2 = 0. Отметим, что до сих пор
ориентация зацепления L никак не участвовала в определении.
Пусть n+ и n- { число положительных и отрицательных перекрестков
в диаграмме D. Мы определяем гомологическую градуировку grad(x)
по правилу
grad(x) = |v| - n- ;
где x # A(v), |v| { число единиц среди координат v.
Дифференциал d повышает grad(x) на единицу. Оказывается, на
CKh(D) можно ввести вторую градуировку, которую дифференциал d
будет сохранять.
Пусть p(v ± ) = ±1. Распространим p на
V# i по правилу
p(v
1# · ·
·# v i ) = p(v 1 ) + : : : + p(v i ):
Если x { однородный относительно p элемент CKh(D), то d понижает
p(x) на единицу. Поэтому сумма p(x) + grad(x) должна сохраняться.
Определим вторую градуировку q(x) по формуле
q(x) = p(x) + grad(x) + n+ - n- :
3

Мы определяем гомологии Хованова Kh i;j (L) как гомологии ком-
плекса CKh(D), с учетом градуировок i = grad(x) и j = q(x). Диф-
ференциал d имеет бистепень (1; 0).
Слагаемые n+ и n- в определения градуировок добавляются для
того, чтобы гомологии Kh i;j (L) не менялись при движениях Рейдемей-
стера.
Теорема 2.1. Если D 1 и D 2 { диаграммы одного зацепления L, то
гомологии комплексов CKh(D 1 ) и CKh(D 2 ) изоморфны.
Это неочевидное утверждение; оригинальное доказательство его
имеется в [1], адаптированное, которое может быть разобрано за одну
лекцию { в [2]. Доказательство состоит в проверке квазиизоморфно-
сти комплексов диаграмм D 1 и D 2 , связанных одним из трех движений
Райдемайстера.
3 Свойства
Перечислим некоторые свойства Kh i;j (L).
Предложение 3.1. Для тривиального узла U мы имеем
Kh 0;1 (U) # Kh 0;-1 (U) # Q, при всех остальных значениях i и j
Kh i;j (U) = 0.
Предложение 3.2 (формула Кюннета). Для объединения L 1 #L 2
мы имеем Kh(L 1 # L 2 ) = Kh(L 1
)# Kh(L 2 ).
В частности, Kh(K # U) { это удвоение Kh(K) со сдвигом q-
градуировки вверх и вниз на единицу и без изменения гомологической
градуировки.
Предложение 3.3. При изменении ориентации одной из компонент
зацепления гомологии Хованова не изменяются, за исключением сдвига
по градуировкам.
Доказательства этих трех предложений остаются в качестве упраж-
нения; определите сдвиг по градуировкам в предложении 3.3.
Самый большой интерес представляет следующее утверждение.
4

Теорема 3.4. Эйлерова характеристика
# i;j
(-1) i dimKh i;j (L)q j
комплекса CKh i;j (L) совпадает с полиномом Джонса зацепления L.
Мы вернемся к нему позднее.
Пусть 
L { зеркальный образ зацепления L (отражение относительно
плоскости в R 3 ).
Предложение 3.5. Имеет место изоморфизм CKh( 
L) = (CKh(L)) # .
В частности, Kh i;j ( 
L) = Kh -i;-j (L).
Напомним, что если A = # : : : # A i;j
# A i+1;j
# : : : # { биградуиро-
ванный цепной комплекс, то сопряженный комплекс B определяется как
# : : : # (A i+1;j ) # # (A i;j ) # # : : : # = # : : : # B -i-1;-j # B -i;-j # : : : # .
Заметим, что имеется изоморфизм r : (V;
; m) # (V # ; m # ;
# ),
действующий по формуле v ± # (v # ) # . Каждое разрешение v диаграммы
L соответствует однозначно некоторому разрешению 
v симметричной
диаграммы 
L. Если x # A(v) { некоторый моном, то мы сопоставляем
ему моном R(x) # A(v), полученный применением r ко всем тензорным
сомножителям в x. Распространим теперь отображение R по линейно-
сти на весь комплекс зацепления L.
Упражнение. Докажите, что R индуцирует изоморфизм между
CKh( 
L) и (CKh(L)) # .
4 Вычисление для зацепления Хопфа
Вычислим гомологии Хованова зацепления Хопфа H.
00
01
10
11
5

Куб разрешений в этом случае { квадрат, n+ = 2, n- = 0. В го-
мологической градуировке 0 имеется единственная вершина v = (00),
A(00) #
V# V , ядро порождено элементами v
-# v - и v
+# v - - v
-# v + .
Следовательно, Kh 0;0 (H) # Kh 0;2 (H) # Q, Kh 0;i (H) = 0 при i #= 0; 2.
В гомологической градуировке 1 ядро совпадает с образом. Общий
элемент x # CKh 1;j (H) имеет вид (f; g), где f # A(01), g # A(10), причем
оба векторных пространства A(01) и A(10) изоморфны V . Дифферен-
циал d отображает A(01) и A(10) в пространство A(11), изоморфное
V# V .
Имеем d((v - ; 0)) = -d((0; v - )) = v
-# v - , d((v + ; 0)) = -d((0; v + )) =
v
-# v + + v
+# v - . Поэтому в гомологической градуировке 1 ядро d
совпадает с образом.
Наконец, в гомологической градуировке 2 имеем d[A(11)] = 0, а фак-
тор A(11)=Im d порождается векторами v
+# v + и v
+# v - - v
-# v + . Тем
самым, Kh 2;4 (H) # Kh 2;6 (H) # Q, Kh 2;i (H) = 0 при i #= 4; 6.
Схематически Kh i;j (H) можно изобразить следующим образом:
q
grad
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2
Q
Q
Q
Q
Упражнение. Вычислите гомологии Хованова трилистника.
5 Полином Джонса и скобка Кауфмана
Cкобка Кауфмана < D > { инвариант диаграммы D зацепления L, явля-
ющийся полиномом Лорана от одной переменной q. Один из возможных
6

способов ее определения { рекурсивный:
1. < k окружностей >= (q + q -1 ) k
2. Имеет место скейн-соотношение Кауфмана:
q
=
:
Скобка Кауфмана не инвариантна при движениях Райдемайстера, но
полином
~
J(D) = (-1) n- q (n+-2n- ) < D >;
уже является корректно определенным инвариантом узла или ориенти-
рованного зацепления L. Отметим, что ориентация L не использовалась
при определении скобки Кауфмана.
Полином ~
J(L) = ~
J(D) называют (ненормализованным) полиномом
Джонса. Нормализованный полином Джонса J(L) равен ~
J(L)
q+q -1 .
Упражнение. Докажите теорему 3.4.
6 Длинная точная последовательность
Пусть L 0 и L 1 { зацепления, полученные из зацепления L разрешени-
ями некоторого перекрестка. Тогда цепной комплекс Хованова CKh(L 1 )
вложен в комплекс CKh(L) и замкнут в CKh(L) относительно действия
дифференциала d. Отметим, что для CKh(L 0 ) аналогичное утвеждение
неверно.
Возникает короткая точная последовательность цепных комплексов
0 # CKh(L 1 ) # CKh(L) # CKh(L 0 ) # 0;
индуцирующая длинную точную последовательность групп гомологий
: : : # Kh(L 1 ) # Kh(L) # Kh(L 0 ) # Kh(L 1 ) # : : :
Расставим градуировки в этой длинной точной последовательности.
Для этого нужно, в частности, определить, как связаны числа пере-
крестков n+ и n- у зацеплений L; L 0 и L 1 .
Случай 1: разрешаемый перекресток { отрицательный. Тогда его
ориентированное разрешение является 1-разрешением, и зацепление L 1
обладает согласованной с L ориентацией. Следовательно, n+ (L 1 ) =
n+ (L), n- (L 1 ) = n- (L) - 1.
7

Для L 0 нет канонической ориентации, поэтому ориентируем L 0 про-
извольным образом. Пусть c = n- (L 0 ) - n- (L).
Тогда короткая точная последовательность комплексов имеет вид
0 # CKh i;j+1 (L 1 ) # CKh i;j (L) # CKh i-c;j-3c-1 (L 0 ) # 0
(вспомните определения i { гомологической градуировки и j { q-
градуировки). Соответствующая длинная точная последовательность
имеет вид
: : : # Kh i;j+1 (L 1 ) # Kh i;j (L) # Kh i-c;j-3c-1 (L 0 ) # Kh(L 1 ) i+1;j+1
# : : :
Случай 2: разрешаемый перекресток { положительный. Тогда его
ориентированное разрешение является 0-разрешением, и зацепление L 0
обладает согласованной с L ориентацией. Следовательно, n+ (L 0 ) =
n+ (L) - 1, n- (L 1 ) = n- (L).
Для L 1 нет канонической ориентации, поэтому ориентируем L 1 про-
извольным образом. Пусть c = n- (L 1 ) - n- (L).
Тогда короткая точная последовательность комплексов имеет вид
0 # CKh i-с-1;j-3с-2 (L 1 ) # CKh i;j (L) # CKh i;j-1 (L 0 ) # 0
Соответствующая длинная точная последовательность имеет вид
: : : # Kh i-с-1;j-3с-2 (L 1 ) # Kh i;j (L) # Kh i;j-1 (L 0 ) # Kh(L 1 ) i-с;j-3с-2
# : : :
Упражнение. Вычислите гомологии Хованова зацепления Хопфа,
пользуясь лишь длинной точной последовательностью.
Смысл гомоморфизмов в длинной точной последовательности про-
стой: Kh(L 1 ) # Kh(L) и Kh(L) # Kh(L 0 ) соответствуют вложению
и факторизации, а гомоморфизм Kh(L 0 ) # Kh(L 1 ) вычисляется так:
берем представителя x # CKh(L 0 ), вычисляем от него дифференциал в
комплексе CKh(L) и оставляем часть, лежащую в CKh(L 1 ).
Упражнение. Вычислите гомологии Хованова трилистника, ис-
пользуя длинную точную последовательность.
8

Работы по теме
[1] Mikhail Khovanov. A categorication of the Jones polynomial.
arXiv:math/9908171v2 [math.QA].
[2] Dror Bar-Natan. On Khovanov's categorication of the Jones polyno-
mial. Algebraic & Geometric Topology, Volume 2 (2002) 337-370.
[3] Paul Turner. Five Lectures on Khovanov Homology.
arXiv:math/0606464v1 [math.GT].
[4] Marta Asaeda, Mikhail Khovanov. Notes on Link Homology.
arXiv:math/0804.1279v1 [math.QA].
[5] Jacob Rasmussen. Khovanov homology and the slice genus.
arXiv:math/0402131v1 [math.GT]
9