Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f08/probability_10.ps Дата изменения: Sat Nov 22 10:13:43 2008 Дата индексирования: Thu Jan 15 18:42:11 2009 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Листок 10
1. Пусть мы оказываемся от условия, что игрок помнит свои прошлые ходы (то есть
неотличимые вершины просто должны иметь одинаковый набор ходов). Приведите пример
игры, в которой нет равновесия Нэша в смешанных стратегиях.
2. Два участка лесоповала. Есть n игроков, прич?м это количество велико. Есть два
участка, где валят лес. На первом участке k участников повалят k - k 2
n
единиц леса, на
втором 4k - 2k 2
n
единиц.
Найдите равновесия Нэша при лесоповале, если выигрыш игрока пропорционален ко-
личеству поваленного им леса. Найдите равновесия Нэша при лесоповале, если выигрыш
игрока равен одной n-й доле общего количества поваленного леса.
3. Пожертвование. Два игрока  главы, скажем, образовательных учреждений  разго-
варивают с меценатом. Он предлагает пожертвовать одну копейку первому учреждению;
если первый игрок отказывается  предлагает пожертвовать две копейки второму учре-
ждению; затем четыре копейки первому, и так далее. Когда он хочет предложить сумму
больше миллиарда рублей, он е? просто жертвует тому учреждению, которому предложил
бы е? по очереди. Игроки хотят получить максимальное пожертвование, каждый  для
своего учреждения. Какие в этой игре равновесия? Совершенные на подыграх равновесия?
4. Повторяемая дилемма заключ?нных. Пусть два игрока играют в дилемму заклю-
ч?нных бесконечно много раз подряд, прич?м каждый раз ставки падают на 1 процент.
Докажите, что в ней есть равновесие Нэша, совершенное на подыграх, при розыгрыше
которого оба игрока всегда помогают друг другу.
Можно ли достичь того же результата пут?м конечного многократного повторения фик-
сированное число раз?
5. Дел?ж рынка. Есть две фирмы  лидер и преследователь. Каждый может произво-
дить продукцию за a рублей за единицу. Есть предельная цена, которую кто-либо готов
платить, M рублей. Каждый выбирает объ?м производства в штуках, после чего весь то-
вар расходится по цене M - Q, где Q  суммарное производство. Каждая фирма хочет
максимизировать свою прибыль.
Найти равновесия Нэша, если издержки равны, а объ?м производства выбирается одно-
временно. Хуже или лучше для преследователя, если он знает объ?м производства лидера,
выбирая свой?
6. Встреча на отрезке. Два игрока живут в местах, равновероятно распредел?нных среди
целых точек отрезка [0; 5]. Они сообщают друг другу, где они якобы живут, и встречаются
посередине. Каждый хочет встречаться поближе к дому.
Найти равновесия Нэша.
Можете ли Вы изменить правило определения места встречи так, чтобы было рав-
новесие, где игроки на самом деле встречаются посередине? Такое, чтобы они говорили
правду?
1