Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f09/cycles_12.ps Дата изменения: Mon Mar 1 06:23:24 2010 Дата индексирования: Thu Apr 8 13:12:28 2010 Кодировка: Windows-1251

"ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ"
Г. Колюцкий, Д. Филимонов, А. Фишкин, И. Щуров
Задачи к лекции 12
1. Рассмотрим векторное поле v(x, y) с конечным числом осо-
бых точек (нулей векторного поля). Заменяя каждый вектор
в неособой точке на прямую, на которой лежит этот вектор,
получаем поле направлений (с конечным числом особых то-
чек, в которых направление не определено). Скажем, что
поле направлений является аналитическим, если оно полу-
чается из аналитического векторного поля.
Доказать, что типичное поле направлений на плоскости
(x, y) # R 2 , задаваемое полиномиальным векторным полем
# -
x = P n (x, y),
-
y = Q n (x, y),
продолжается до аналитического поля направлений (с ко-
нечным числом особых точек) на проективной плоскости
RP 2 . Найти условия типичности.
Подсказка. Перейти к проективной карте в окрестности
бесконечности: u = 1/x, v = y/x.
2. Сколько может быть особых точек в полицикле в типичном
k-параметрическом семействе гладких векторных полей на
сфере? Дать точную оценку.
3. (Желательно сделать к следующей лекции! ) Рассмотрим
фазовый портрет
а) Стандартного седла (здесь # > 0)
# -
x = x,
-
y = -#y.
б) Стандартного седлоузла
# -
x = x 2 ,
-
y = y.
Вычислить отображение соответствия # с полутрансвер-
сали # in = {x > 0, y = 1} на полутрансверсаль
# out = {x = 1, y > 0}.
НМУ, ОСЕНЬ 2009 ГОДА
1