Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f09/analiz3_04.ps Дата изменения: Fri Oct 9 15:33:05 2009 Дата индексирования: Fri Oct 16 23:40:40 2009 Кодировка: koi8-r

Анализ на многообразиях, 2 курс 1.10.2009
4. Векторные поля { II
Задача 1. Постройте интегральные кривые и опишите потоки следующих полей на плос-
кости: 1) x
@
@x + y
@
@y ; 2) y
@
@x - x
@
@y .
Задача 2. Пусть S 2 | единичная сфера в R 3 , n; s # S 2 | ее северный и южный полюса.
Положим M = S 2
\ {n; s} и рассмотрим на M векторные поля X; Y , заданные следующим
образом: X состоит из векторов единичной длины, касательных к меридианам (с севера
на юг), а Y состоит из векторов единичной длины, касательных к параллелям (с запада
на восток).
1) Запишите поля X; Y в локальных координатах, выбрав в качестве координат широту
и долготу.
2) Вычислите коммутатор [X; Y ].
3) Найдите потоки g X
t и g Y
t этих полей. Определены ли они всюду на M?
4) Вычислите коммутатор потоков f st = g X
s g Y
t g X
-s g Y
-t . Вычислите разность x - f st (x) (в
координатах) с точностью до o(s 2 + t 2 ). Как эта разность связана с потоком поля [X; Y ]?
Задача 3. Постройте три векторных поля X; Y; Z на трехмерной сфере S 3 , которые в
каждой точке x # S 3 образуют базис касательного пространства T x S 3 .
Определение. Многообразие, на котором существует набор векторных полей  1 ; : : : ;  m ,
в каждой точке x # M образующий базис касательного пространства T x M , называется
параллелизуемым.
Задача 4. Докажите, что любая линейная группа Ли параллелизуема.
Задача 5. Постройте векторное поле на нечетномерной сфере, нигде не обращающееся в
нуль. (Указание. Можно попробовать записать какое-либо из полей задачи 3 в декартовых
координатах на R 4 и придумать аналогичную формулу для R 2n ).
Задача 6. Пусть два векторных поля на многообразии M касаются некоторого под-
многообразия N # M в каждой точке N . Докажите, что то же самое верно и для их
коммутатора.
Задача 7. (Обмотка тора.) Пусть  | векторное поле на торе T 2 , координаты которого
( 1 ;  2 ) относительно системы угловых координат постоянны. При каких условиях на  1 ;  2
интегральные кривые поля  замкнуты? Что можно сказать об этих кривых в том случае,
когда они не замкнуты?
Задача 8. (Касательное расслоение). Пусть M | гладкое многообразие, m = dimM ,
и пусть TM = # x#M T x M = {(x; ) : x # M;  # T x M}. Для каждой карты (U; ') на
M положим ~
U = # x#U T x M и определим отображение ~
' : ~
U # R 2m формулой ~
'(x; ) =
('(x); d'(x)). Снабдим TM слабейшей топологией, в которой все отображения ~
' непре-
рывны. Докажите, что семейство всех карт вида ( ~
U ; ~
') образует атлас на TM , и что TM
| гладкое многообразие размерности 2m.

Определение. Построенное многообразие TM называется касательным расслоением
многообразия M .
Определение. Пусть M | многообразие. Гладким n-мерным векторным расслоением с
базой M называется следующая совокупность данных:
(1) многообразие E,
(2) гладкое отображение p : E #M ,
(3) структура n-мерного вещественного векторного пространства на каждом из мно-
жеств p -1 (x); x # M (которое называется слоем над x),
удовлетворяющая следующему условию локальной тривиальности: для каждой точки x #
M существуют окрестность U # x и диффеоморфизм ' : p -1 (U) # U в R n , делающий
диаграмму
p -1 (U)
p
##
#
#
#
#
#
#
#
#
#
'
## U в R n
pr 1
### # # # # # # # #
U
коммутативной (где pr 1
| проекция на первый сомножитель) и для каждого x # U ин-
дуцирующий изоморфизм векторных пространств p -1 (x) и {x} в R n # = R n .
Сечением расслоения (E; p) называется гладкое отображение s : M # E, удовлетворя-
ющее условию p # s = id M .
Задача 9. 1) Докажите, что касательное расслоение TM вместе с отображением
p : TM # M; p(x; ) = x, является векторным расслоением в смысле предыдущего опре-
деления.
2) Докажите, что гладкое векторное поле на M | это то же самое, что сечение каса-
тельного расслоения TM .
Определение. Морфизм векторных расслоений ' : (E; p) # (E # ; p # ) с базой M | это
гладкое отображение ' : E # E # , делающее диаграмму
E
p
##
#
#
#
#
#
#
#
#
'
## E #
p #
### # # # # # # #
M
коммутативной и линейное на каждом слое. Изоморфизм векторных расслоений | это
морфизм, обладающий обратным. Векторное расслоение называется тривиальным, если
оно изоморфно расслоению вида (M в R n ; pr 1
).
Задача 10. Докажите, что многообразие параллелизуемо тогда и только тогда, когда
его касательное расслоение тривиально.
Задача 11. # Докажите, что сфера S 2 не параллелизуема. (Указание. Какому классиче-
скому многообразию диффеоморфно множество касательных векторов к S 2 единичной
длины? А какому другому классическому многообразию оно было бы диффеоморфно,
если бы S 2 была параллелизуема?)