Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f09/algebra3_01.ps Дата изменения: Tue Sep 22 10:06:41 2009 Дата индексирования: Fri Oct 16 23:54:05 2009 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

Алгебра III (2009) Семинар 1 @ 8.09.09
Плоские кубики (a.k.a. эллиптические кривые)
Пусть Q(x, y, z)  однородный многочлен степени d. Обозначим CQ кривую Q = 0 в CP 2 .
Задача 1. a) Сколько касательных можно провести к CQ из произвольной точки? Какие
касательные необходимо учитывать с кратностью?
Подсказка: Для вычислений точку удобно перенести на абсолют. Запишите условие касания
отдельным уравнением и воспользуйтесь теоремой Безу.
b) Докажите, что кратное касание происходит в особых точках, а также в точках перегиба,
заданных уравнениями Q = 0 и
det
# #
# 2 Q/#x#x # 2 Q/#x#y # 2 Q/#x#z
# 2 Q/#y#x # 2 Q/#y#y # 2 Q/#y#z
# 2 Q/#z#x # 2 Q/#z#y # 2 Q/#z#z
# # = 0.
c) Сколько таких точек перегиба есть у CQ ? Какие из них необходимо учитывать с крат-
ностью?
С этого момента пусть deg Q = 3. Соответствующая кривая называется плоской куби-
кой. Предположим, что многочлен Q неприводим, определим на CQ структуру коммута-
тивной группы.
Ключевая идея  определить операцию соотношением, что сумма тр?х точек CQ , ле-
жащих на одной прямой в CP 2 , равна нулю. Тогда нуль группы должен быть точкой
перегиба CQ (докажите это!), обозначим эту точку e. Значит, для p # CQ противополож-
ный элемент -p находится, как точка CQ на прямой в CP 2 , соединяющей e и p. А для
пары точек p и q вычислим p + q так: соединим их прямой и возьмем е? пересечение с CQ
 это будет -p- q, затем, соединяя эту точку с e, найд?м p+ q. Докажем ассоциативность
этого умножения.
Задача 2. Пусть p, q, r # CQ .
a) Проведите ещ? одну кубику CQ1 (соотв. CQ 2 ) через точки e, p, q, r, p + q, q + r, -p - q,
-q - r и -(p + q) - r (соотв. -p - (q + r)).
Подсказка: Три прямых  тоже кубика.
b) Докажите, что многочлены Q, Q 1 и Q 2 линейно зависимы. Выведите отсюда, что -(p+
q) - r совпадает с -p - (q + r).
Подсказка: Обратите внимание, сколько у них общих корней.
Задача 3. Опишите геометрически точки CQ порядка 2, 3 и 4 в этой группе. Сколько
имеется таких точек?
Задача 4. Докажите, что проективным преобразованием уравнение неприводимой кубики
приводится к нормальной форме Вейерштрасса: y 2 z - x 3
- axz 2
- bz 3 , где a, b # C.
Подсказка: Проведите ось x через точки второго порядка. Поместите ноль группы на абсо-
лют.
Задача 5. a) Докажите, что CQ особа тогда и только тогда, когда в нормальной форме
Вейерштрасса 4a 3 + 27b 2 = 0.
Подсказка: Вспомните дискриминант кубического уравнения.
b # ) Докажите, что j = a 3 /(4a 3 + 27b 2 ) является инвариантом кривой.
c # ) Выразите этот инвариант в геометрических терминах.
d # ) Докажите, что две кривые, j-инвариант которых совпадает, совмещаются проективным
преобразованием.
Задача 6 # . a # ) Докажите, что если CQ особа, то е? можно параметризовать (нетриви-
ально рационально отобразить CP 1 в CQ ).
b ## ) Докажте, что если CQ неособа, то е? параметризовать невозможно.