Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/AZ-Problems_1.ps Дата изменения: Wed Oct 6 18:51:47 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 09:38:05 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Введение в теорию чисел Листок 1
Поля, расширения полей. Конечные поля.
Задача 1 (трансцендентные расширения). a) Пусть x трансцендентен (т.е. не алгеб-
раичен) над полем F; а K # F (x)  подполе, не совпадающее с F: Покажите, что элемент
x алгебраичен над K:
b) Пусть x трансцендентен над полем F; а  : F # E  вложение F в некоторое поле E.
При каких условиях и сколькими способами  продолжается до вложения F (x) в E?
Задача 2 (вложения R и C). a) Покажите, что всякий гомоморфизм полей из R в R
биективен.
b) (для знакомых с базисами трансцендентности) Докажите, что C изоморфно беско-
нечному числу своих собственных подполей.
c) Покажите, что группа Aut(C) автоморфизмов поля C несчетна.
Задача 3 (поля разложения). a) Докажите, что степень поля разложения многочлена
степени n делит n!:
b) Сколько корней в F 16 имеют многочлены x 3
- 1; x 4
- 1; x 15
- 1; x 17
- 1? Постройте их
поля разложения.
c) Разложите на неприводимые множители многочлен x 4 + 1 над полями F 5 ; F 25 и F 125 :
Найдите его поле разложения.
d) Постройте поле разложения многочлена x 5
- 2 над Q:
e) Покажите, что многочлен x p
-x-a над полем характеристики p либо неприводим, либо
разлагается на линейные множители.
f) Найдите поле разложения многочлена x p m
- 1 # F p [x]: Какова его степень над F p ?
Задача 4 (кубические многочлены). Пусть charK #= 2; 3:
a) Докажите, что любой кубический многочлен над K может быть приведен к виду P (x) =
x 3 + px + q линейной заменой переменной x:
b) Пусть  1 ;  2 ;  3  корни P (x) в некотором алгебраическом замыкании поля K: Докаж-
ите, что диcкриминант D = ( 1 -  2 ) 2 ( 2 -  3 ) 2 ( 1 -  3 ) 2 лежит в K: Выразите D через
p и q.
c) Пусть L  поле разложение P (x): Покажите, что L = K( 1 ); если D  квадрат в K и
L = K( # D;  1 ) иначе.
d # ) Обобщите утверждение пункта b) на многочлены произвольной степени. Каков в этом
случае аналог утверждения из пунтка c)?
Задача 5 (построения циркулем и линейкой). Зафиксируем на плоскости единичный
отрезок. Множество E состоит из длин всех отрезков, которые можно построить циркулем
и линейкой, чисел, противоположных им, и нуля.
a) Покажите, что E  поле и, если x # E; x > 0; то # x # E:
b) Опишите E алгебраически.
c) Верно ли, что 3
# 2 =
# E? Можно ли в общем случае разделить угол на три равные части
с помощью циркуля и линейки? Можно ли построить циркулем и линейкой правильный
7-ми угольник?
d # ) При каких значениях n правильный n-угольник можно построить циркулем и линейк-
ой?
Задача 6 (неприводимые многочлены над конечными полями). Пусть q = p f 
степень простого числа p; k = F q  конечное поле из q элементов.
a) Покажите, что неприводимый многочлен f(x) делит x q n
-x тогда и только тогда, когда
степень f(x) делит n:

Введение в теорию чисел Листок 1
b) Докажите, что
x q n
- x = # d|n
#
f d -неприводим
f d (x);
где произведение берется по всем неприводимым над k многочленам степени d со старшим
коэффициентом 1: Выведите отсюда, что q n =
# d|n
d (d); где (d)  число неприводим-
ых многочленов степени d: Это равенство эквивалентно следующему (вычисление дзета-
функции аффинной прямой):
1
1 - qt
=
#
# d=1
(1 - t d ) - (d) :
c) Получите равенство n (n) =
# d|n
(d)q n=d ; где (d)  функция М?биуса, равная 0, если
d делится на квадрат некоторого простого числа и (-1) r ; если n = p 1 : : : p r  произве-
дение различных простых чисел (это дает альтернативное доказательство существования
конечных полей F p r при r # 2).
Задача 7 (квадратичный закон взаимности). Пусть q = p f  степень простого числа
p; k = F q : Напомним, что символ Лежандра # x
p # для простого числа p #= 2 и x # F # p равен
1, если x  квадрат в F p ; и -1 иначе.
a) Покажите, что, если p = 2; то каждый элемент поля k является квадратом, а, если p #= 2;
то квадраты образуют подгруппу индекса 2 в k # ; которая является ядром гомоморфизма
x ## x (q-1)=2 ; принимающего значения +1: Выведите из этого, что # x
p # = x (p-1)=2 :
b) Докажите, что # 1
p # = 1;
# -1 p # = (-1) (p-1)=2 ; # 2
p # = (-1) (p 2
-1)=8 :
Подсказка: воспользуйтесь тем, что ( +  -1 ) 2 = 2, если   примитивный корень 8-ой
степени из 1 в алгебраическом замыкании поля F p :
c) Пусть дано нечетное простое число l #= p; а ! #= 1  корень степени l из 1 в алгеб-
раическом замыкании поля F p : Определим сумму Гаусса y =
# x#F l # x
l # ! x : Докажите, что
y 2 = (-1) (l-1)=2 l:
d) Покажите, что y p-1 = # p
l # ; и получите отсюда квадратичный закон взаимности Гаусса:
# l
p
# = # p
l
# (-1) (p-1)(l-1)=4 :
Задача 8 (квадратные уравнения над конечными полями).
a) Пусть f(x; y) = ax 2 + 2bxy + cy 2  квадратичная форма с определителем d = ac - b 2 :
Пусть d #= 0 в F p : Покажите, что число ненулевых решений уравнения f(x; y) = 0 в F p
равно (p - 1) # 1 +
# -d p # # .
b # ) Пусть p #= 2 простое, f(x 1 ; : : : ; x n )  квадратичная форма с определителем d #= 0 в
F p : Покажите, что число ненулевых решений уравнения f(x 1 ; : : : ; x n ) = 0 в поле F p равно
p n-1
- 1 + (p - 1) # (-1) n=2 d
p # p n=2-1 при четном n и p n-1
- 1 при нечетном n.
Подсказка: приведите форму f к виду y 1 y 2 + g(y 3 ; : : : ; y n ):
c # ) В предположениях предыдущего пункта найдите число решений в поле F p уравнения
f(x 1 ; : : : ; x n ) = a: