Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/algebra1-lect6new.ps Дата изменения: Tue Oct 19 20:22:38 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 22:24:47 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com bad tv foxapollo.html

Алгебра I (2010) Лекция 6 @ 12.10.10
Конечнопорожд?нные модули
Определение 1. Подмодуль M # # M  подмножество, замкнутое относительно сложен-
ия, вычитания и действия.
Определение 2. Модуль называется простым, если у него нет нетривиальных (кроме
нулевого и всего модуля) подмодулей.
Модули устроены проще колец и групп  любой подмодуль может быть получен как
ядро отображения в определ?нный ниже модуль.
Определение 3. Пусть M # # M  подмодуль. Определим фактормодуль M=M # как мно-
жество классов эквивалентности элементов M по отношению m 1 # m 2 , если m 2 -m 1 # M # .
Предложение 1 Сложение, вычитание и действие корректно определены на множе-
стве M=M # и задают на н?м структуру модуля.
Пример. Для кольца K и левого идеала I # K левый модуль K=I является фактормод-
улем K по подмодулю I.
Определение 4. Подмодуль M , порожд?нный (generated by) подмножеством X # M 
минимальный по вложению подмодуль M , содержащий X. Для векторных пространств
он также называется линейной оболочкой.
Будем говорить, что модуль M порожд?н подмножеством X, если подмодуль, поро-
жд?нный X совпадает со всем M . В этом случае будем называть элементы X образующими
(generators) модуля M .
Легко увидеть, что для левого модуля такой подмодуль будет состоять из элементов
вида x 1 m 1 + ћ ћ ћ + x k m k , где x i # K, m i # X.
Определение 5. Конечнопорожд?нный модуль  модуль, порожд?нный некоторым св-
оим конечным подмножеством. Такие векторные пространства также называются конечно-
мерными.
Пример. C является конечнопорожд?нным как модуль над R и C, но не как модуль над
Q и Z.
Теорема 1 (i) Всякий конечнопорожд?нный модуль над евклидовым кольцом K изомо-
рфен прямой сумме модулей вида K и K=p i K, где p # K прост, i # N.
(ii) Такое разложение единственно.
Пример. В случае K = Z получаем известную теорему о классификации конечнопоро-
жд?нных абелевых групп.
Пример. В поле не бывает нетривиальных идеалов, тем самым, всякое конечномерное
векторное пространство над F изоморфно F n для некоторого натурального числа n, назы-
ваемого размерностью. При этом F m # = F n только при m = n.
Цель этой лекции  доказательство Теоремы 1. На самом деле, задача о классифик-
ации модулей и задача о решении системы линейных уравнений опираются на один и тот
же метод  классификацию матриц с точностью до умножению на обратимую, другими
словами, классификацию отображений свободных модулей  : K n
# K m с точностью до
композиции с изоморфизмами 1 : K n
# K n и 2 : K m
# K m .
Заметим, что если m 1 ; : : : ; m n  образующие модуля M , то отображение gen : K n
#M ,
gen((x 1 ; : : : ; x n )) = x 1 m 1 + ћ ћ ћ + x n m n , является наложением. Тогда M # = K n =Ker(gen), и
осталось описать ядро отображения gen.
Определение 6. Соотношения в модуле M  образующие ядра отображения gen.
Если соотношений конечное число r, то M определяется отображением K r
# K n ,
переводящим образующие K r в соотношения. При этом композиция с обратимым отоб-
ражением K r
# K r заменяет набор соотношений на эквивалентный им, а композиция с

Алгебра I (2010) Лекция 6 @ 12.10.10
обратимым отображением K n
# K n записывает те же соотношения в другом наборе об-
разующих M . Фактически, из коэффициентов соотношений вида a 11 m 1 + ћ ћ ћ + a 1n m n = 0
изготовляется матрица, которую можно в условиях Теоремы 1 привести к диагональному
виду (нормальной форме Смита).
Пусть теперь соотношений бесконечно много, докажем, что из них можно выбрать ко-
нечный набор. Провед?м индукцию по числу образующих. Базой можно считать нулевой
модуль с нул?м образующих. Вспомним, что первый диагональный элемент в нормальной
форме Смита  наибольший общий делитель элементов матрицы. Пусть a  наибольший
общий делитель всех коэффициентов соотношений, его можно получить как наибольший
общий делитель конечного набора соотношений. Составим из коэффициентов этих соотн-
ошений матрицу и привед?м к нормальной форме Смита. Тогда в новых образующих
возникнет соотношение am 1 = 0, используя которое запишем все остальные соотношен-
ия без m 1 . Теперь рассмотрим подмодуль, порожд?нный m 2 ; : : : ; m n , и применим к нему
предположение индукции. Этот набор соотношений вместе с соотношением am 1 = 0 опре-
делит модуль.
Таким образом, в новых образующих соотношения будут иметь вид a i m i = 0, i = 1 : : : s,
которые соответствуют модулю K n-s
#K=a 1 K#K=a 2 K#ћ ћ ћ#K=a s K. Теперь разложим a i
на взаимно-простые множители вида p l j
j и воспользуемся китайской теоремой об остатках,
получив K=a i K = K=p l 1
1 K#K=p l 2
2 K#: : : , и, тем самым, требуемое в Теореме 1 разложение.
Существование доказано, перейд?м к единственности.
Лемма 1 Пусть K евклидово. Тогда K m # = K n тогда и только тогда, когда m = n.
Доказательство: Мы знаем, что отображение K m
# K n однозначно зада?тся матрицей mЧn,
привед?м е? к нормальной форме Смита. Тогда нулевые столбцы укажут нам на наличие ядра
отображения, или нулевые строки покажут, что отображение не является наложением.
Заметим, что для x # K и K-модуля M подмножество xM является подмодулем.
Для евклидового K и простого p # K рассмотрим фактормодуль p n M=p n+1 M . Так как
pK действует на н?м нул?м, он автоматически является модулем над полем K=pK, и по
Лемме 1 его размерность является инвариантом M по отношению к изоморфизмам.
Теперь если разложить M на слагаемые указанного в Теореме 1 вида, то размерность
p n M=p n+1 M  количество слагаемых вида K и K=p m K при m > n. Варьируя p и n,
восстановим структуру разложения. Теорема 1 доказана.
Следствие 1 Всякий конечнопорожд?нный модуль над евклидовым кольцом K изомо-
рфен прямой сумме K=a 1 K # ћ ћ ћ #K=a n K, где a i # K  необратимые элементы, такие
что a i |a i+1 , прич?м такое разложение единственно.
Доказательство: Используя китайскую теорему об остатках и разлагая ненулевые a i на прост-
ые множители, сопоставим такому разложению разложение Теоремы 1. Чтобы доказать взаим-
ную однозначность такого сопоставления, построим обратное отображение. Упорядочим степени
проcтых чисел в разложении Теоремы 1, получим последовательности вида p k i1
i ; p k i2
i ; : : : , где
0 < k i1 # k i2 # : : : . Добавляя при необходимости в начало этих последовательностей p 0
i , сделаем
их все одной длины. Теперь положим a j равным произведению p k ij
i , а слагаемым вида K будут
соответствовать a j = 0.
Следствие 2 В случае евклидового кольца нормальная форма Смита однозначно опре-
деляется матрицей.
Доказательство: Рассмотрим модуль, в котором соотношения заданы нашей матрицей. Тогда,
умножая матрицу на обратимые, получим изоморфные модули. Но модули, соответствующие
разным нормальным формам Смита, не изоморфны по Следствию 1.