Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/algebra1-maxe.ps Дата изменения: Mon Dec 13 17:51:15 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 09:10:49 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Алгебра I (2010) 12.12.10
Экзамен
Задача 1. Пусть P  многочлен с вещественными коэффициентами. Сколько решений
может быть у уравнения P (x) = 0 над кольцом кватернионов, если
a) deg P = 2; b) deg P = 3; c) deg P = n.
Задача 2. Пусть над полем F нашлись матрицы A и B размера nЧn, такие что AB-BA
 единичная матрица. Чему может равняться характеристика F ?
Задача 3. a) Рассмотрим множество матриц 2Ч2 над кольцом Z=mZ, m = p k 1
1
: : : p kn
n # N.
Определим отношение эквивалентности A # A # , если найдутся обратимые матрицы B и
C, такие что A # = BAC. Найдите число классов эквивалентности.
b) Рассмотрим множество матриц 2 Ч 2 над кольцом Z=pZ, где p > 2  простое нат-
уральное число. Определим отношение эквивалентности A # A # , если найд?тся обратимая
матрица B, такая что A # = BAB -1 . Найдите число классов эквивалентности.
Задача 4. Рассмотрим поле Q(i), состоящее из комплексных чисел с рациональными ко-
эффициентами, как модуль над кольцом чисел Гаусса Z[i].
a) Докажите, что любой конечнопорожд?нный подмодуль Q(i) порожд?н одним эле-
ментом z # Q(i).
b) При каких z соответствующий подмодуль замкнут относительно умножения в Q(i)?
c) При каких таких z все идеалы получившегося кольца главные?
Задача 5. Пусть W  группа Витта поля Q(i).
a) Докажите, что множество элементов W сч?тно (в частности, бесконечно).
b) Докажите, что каждый отличный от нуля элемент W имеет порядок 2.
c) Докажите, что группа однозначно с точностью до изоморфизма зада?тся этими
двумя свойствами.
Задача 6. Пусть I 0 # C[x; y]  идеал, состоящий из многочленов, обращающихся в ноль
в начале координат. Рассмотрим I 0 как модуль над C[x; y].
a) Задайте I 0 образующими и соотношениями.
b) Задайте двойственный модуль I #
0
образующими и соотношениями.
c) Задайте фактормодуль I ##
0
по естественному образу I 0 образующими и соотношен-
иями.