Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/algebra1-sem9new.ps Дата изменения: Wed Nov 3 18:27:15 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 20:49:52 2011 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Алгебра I (2010) Семинар 9 @ 2.11.08
Билинейная алгебра
Задача 1. a) Сколько существует билинейных симметрических форм на двумерном век-
торном пространстве над Z/2Z с точностью до изометрии? Какие квадратичные формы
им соответствуют?
b) Решите аналогичную задачу для тр?хмерного векторного пространства над Z/2Z.
c # ) Классифицируйте все неразложимые векторные пространства над Z/2Z с билинейной
симметрической формой с точностью до изометрии.
Задача 2. Рассмотрим на пространстве многочленов R[x] форму
(P, Q) = # 1
-1
P (x)Q(x)dx.
a) Докажите, что она является скалярным произведением (положительно определ?нной
билинейной симметрической формой).
b) Найдите (x n , x m ).
c) Докажите, что многочлены Лежандра P n (x) = 1
2 n n!
d n
dx n # (x 2
- 1) n
# , n = 0, 1, 2, . . . , обра-
зуют ортогональный базис этого пространства.
d) Вычислите (P n (x), P n (x)).
e) Докажите, что (n + 1)P n+1 (x) = (2n + 1)xP n (x) - nP n-1 (x).
f) Вычислите P n (1).
g # ) Докажите, что 1
# 1-2xt+t 2
разлагается в ряд по t как
# P n (x)t n .
Задача 3. Зададим в пространстве многочленов форму правилом
(P, Q) = # 1
-1
P (x)Q(x)W (x)dx
для некоторой ненулевой непрерывной функции W (x) # 0. Назов?м ортогональными
многочленами ортогональный базис {P n |n # N}, такой что deg P n = n.
a) Докажите, что такой базис существует и единственен с точностью до умножения P n на
константы.
b) Докажите, что P n ортогонален любому многочлену степени меньше n.
c) Докажите, что найдутся последовательности вещественных чисел a n , b n , c n , так что
P n+1 = (a n x + b n )P n + c n P n-1 .
Подсказка: выберите a n так, чтобы многочлен P n+1 - a n xP n имел степень n, разложите его
по базису ортогональных многочленов и докажите обнуление почти всех коэффициентов.
d) Пусть P n (x) = # n x n + # n x n-1 + . . . , положим (P n , P n ) = # n . Выразите a n , b n и c n через
эти числа.
e # ) Докажите, что P n имеет n вещественных корней, прич?м они лежат в интервале (-1, 1).
Задача 4. a) Докажите, что найдутся такие многочлены T n (x) и U n (x), что cos(nt) =
T n (cos(t)), sin(nt) = sin(t)U n-1 (cos(t)). Они называются многочленами Чебыш?ва 1 и 2
рода соответственно.
b) Докажите, что многочлены T n ортогональны относительно определ?нного выше скаляр-
ного произведения c W (x) = 1/ # 1 - x 2 , а U n (x)  относительно скалярного произведения
с W (x) = # 1 - x 2 .
c) Напишите рекуррентную формулу для многочленов Чебыш?ва.
d # ) Выразите # T n (x)t n и # U n (x)t n элементарными функциями.

Алгебра I (2010) Семинар 9 @ 2.11.08
Задача 5. a) Пусть на векторном пространстве V над произвольным полем задана невы-
рожденная билинейная симметрическая форма. Докажите, что для каждого оператора A
существует и единственен сопряж?нный оператор A # , такой что (Av, u) = (v, A # u) для
всех u, v # V .
b) Выберем в пространстве V базис. Запишите матрицу A # через матрицу A и матрицу
Грама билинейной формы.
c) Что можно сказать о существовании и единственности сопряж?нного оператора для
вырожденной формы?
Определение 1. Оператор на векторном пространстве с невырожденной билинейной сим-
метрической формой называется самосопряж?нным, если для него выполнено A # = A.
Задача 6. Пусть на вещественном конечномерном пространстве задано скалярное произ-
ведение (положительно определ?нная билинейная симметрическая форма).
a) Докажите, что у всякого самосопряж?нного оператора найд?тся собственный вектор v
(такой ненулевой вектор, что Av = #v, # # R).
Подсказка: воспользуйтесь тем, что у любого вещественного оператора есть двумерное инва-
риантное подпространство.
b) Докажите, что всякий самосопряж?нный оператор можно привести к диагональному
виду в ортонормированном базисе.
Подсказка: ортогональное дополнение к собственному вектору  инвариантное подпростран-
ство.
Задача 7. a) Пусть на пространстве с невырожденной билинейной симметрической фор-
мой ( , ) задана ещ? одна билинейная симметрическая форма # , #. Докажите, что е?
можно записать в виде #u, v# = (Au, v) для некоторого самосопряж?нного оператора A.
b) Классифицируйте с точностью до изометрии конечномерные вещественные векторные
пространства со скалярным произведением и произвольной билинейной симметрической
формой.
Подсказка: ответ известен как приведение к главным осям.
c # ) Классифицируйте с точностью до изометрии конечномерные комплексные векторные
пространства с парой невырожденных билинейных симметрических форм.
d ## ) Классифицируйте с точностью до изометрии конечномерные вещественные векторные
пространства с парой невырожденных билинейных симметрических форм.
Определение 2. Пусть в векторном пространстве задана невырожденная билинейная
симметрическая форма. Оператор называется ортогональным, если он действует изомет-
рией, то есть (Av, Au) = (v, u) для всех u и v.
Задача 8. a) Запишите условие ортогональности оператора через его матрицу и матрицу
Грама.
b) Докажите, что всякий ортогональный оператор обратим. Чему может равняться его
определитель?
c) Найдите все ортогональные операторы в двумерном вещественном пространстве со ска-
лярным произведением.
d) Найдите все ортогональные операторы в двумерном вещественном пространстве с фор-
мой сигнатуры (1, 1).
e # ) Докажите, что всякий ортогональный оператор с определителем 1 в тр?хмерном ве-
щественном пространстве со скалярным произведением является поворотом относительно
некоторой оси.
f # ) Докажите, что если A # = -A, то оператор exp(A) ортогонален.