Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/ha01.pdf Дата изменения: Mon Sep 13 22:50:51 2010 Дата индексирования: Sat Feb 12 08:12:22 2011 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Комплексы и когомологии

10.09.2010 Листок 1

Пусть A { ассоциативное кольцо с единицей. Говоря о модулях, мы будем иметь в виду левые A-модули. Когомологическим комплексом называется набор модулей K i ; i Z и гомоморфизмов модулей di : K i K i+1 таких, что d2 = 0 (т.е. di+1 di = 0 при всех i). Гомоморфизмы di называются дифференциалами. Комплекс выглядит так:
::: K
-1

- -

d-1

d d K0 - K1 - K2 : : :

0

1

Часто используются нижние индексы и дифференциалы, понижающие градуировку: Ki = K -i ; di = d-i . В таком случае говорят о гомологическом комплексе. Также часто вместо набора K i рассматривают градуированный модуль K · = i K i и однородный гомоморфизм d· : K · K · степени 1. Примеры: 1. Модуль M можно рассматривать как тривиальный комплекс : K i = 0 при i = 0, K 0 = M иначе, все di = 0.
Id 2. Ещё один тривиальный комплекс: : : : 0 M - M 0 : : :

3.

x x : : : k[x]=(x2 ) k[x]=(x2 ) - k[x]=(x2 ) : : : -

4. Комплекс цепей/коцепей триангулированного гладкого многоо бразия/клеточного пространства/симплициального множества. 5. Комплекс де Рама на гладком многоо бразии. 6. Bar-резольвента: пусть A { коммутативное кольцо, а B { алге бра над A. Положим Ki = 0 при i < -1, Ki = B A B A : : : A B :
i+2 раза

Дифференциал определим по формуле
dk (b0 b1 : : : b
k+1

)=

k i=0

(-1)i b0 : : : bi b

i+1

::: b

k+1

:

Отметим, что Bar-резольвента { комплекс B ; B -бимодулей (или, что то же, B A B opp модулей). 7. Комплекс Кошуля: пусть A { коммутативное кольцо, M { A-модуль, m M { элемент. Положим K i = iA M ; di = m - :

(Ко)циклами комплекса (K · ; d· ) называются модули Z i = ker di , (ко)границами называются модули B i = im di-1 . Из-за соотношения d2 = 0 имеем B i Z i K i . Когомологиями комплекса называются модули H i = Z i =B i , фактормодули циклов по границам. Комплекс, все когомологии которого равны нулю, называется точным или ацикличным.


10.09.2010 Листок 1 ·· ·· Морфизмом комплексов из (K ; dK ) в (L ; dL ) называется набор гомоморфизмов модулей f i : K i Li такой, что df = f d (т.е., diL f i = f i+1 diK ). Морфизм комплексов выглядит так: di-1 di+1 di K/ K / ::: / K i-1 K / K i ::: K i+1
::: ::: Со всяким морфизмом комплексов связан морфизм на когомологиях. Пусть f · : (K · ; d· ) (L· ; d· ) L K
f i-1 fi i-1 d di L/ / Li / Li-1 L


f i+1 di+1 L / Li+1


{ морфизм. Определим гомоморфизм H i (K ) H i (L): пусть элемент x Z i представляет класс когомологий, сопоставим этому классу класс элемента f i (x) в H i (L). Несложно проверить, что всё корректно: f i (x) { коцикл и изменение x на кограницу меняет f i (x) на кограницу. Морфизм, индуцирующий изоморфизм в когомологиях, называется квазиизоморфизмом, а комплексы, между которыми существует цепочка квазиизоморфизмов (возможно, идущих в разные стороны), { квазиизоморфными. Задача 1. Если кольцо A { поле, то любой комплекс квазиизоморфен комплексу с нулевыми дифференциалами, о бразованному своими когомологиями. Важное средство вычисления когомологий комплексов { длинная точная последовательность в когомологиях. f g Набор модулей и гомоморфизмов K - L - M называется точной тройкой, если f g комплекс 0 K - L - M 0 точен (т.е., f инъективно, g сюръективно и im(f ) = ker(g)). f· g· Набор комплексов и морфизмов комплексов K · - L· - M · называется точной тройкой fi gi комплексов, если для любого i имеем точную тройку модулей K i - Li - M i . Морфизмы f и g индуцируют морфизмы когомологий H i (K ) H i (L) H i (M ). Определим так называемый связывающий гомоморфизм i : H i (M ) H i+1 (K ). Пусть x Z i (M ) представляет класс в H i (M ). Возьмём любой y Li так, что g(y) = x, пусть z = d(y) Поскольку g(z ) = gd(y) = dg(y) = d(x) = 0, найдётся t K i+1 такой, что f (t) = z . При этом f d(t) = df (t) = d(z ) = dd(y) = 0, значит и d(t) = 0. Положим ([x]) = [t] H i+1 (K ). 0
/

K
d
/

i+2 O i+1

f
/

L
/

0

K

f

i+2 O d i+1 O d

L

g/ g

M
d

i+1 O
/

0

/ Mi /0 Li Задача 2. Проверить, что класс когомологий [t] не зависит от сделанных выборов. Предложение 1. Со всякой точной тройкой комплексов

f g 0 K · - L· - M · 0
· ·

связана длинная точная последовательность когомологий
::: H
i-1

(M ) - H i (K ) - - H i (L) - - H i (M ) - H - - -

i-1

H i (f )

H i (g)

i

i+1

(K ) : : :


Доказательство. Проверим, например, точность в члене
H i (L) - - H i (M ) - H -
H i (g)
i

10.09.2010 Листок 1

i+1

(K ):

Во-первых, H (g) = 0. Пусть x Z i (L), тогда H i (g)([x]) = [g(x)], и по построению связывающего гомоморфизма ([g(x)]) = 0, так как d(x) = 0. Во-вторых, ker = im H (g). Пусть x Z i (M ) представляет класс в H i (M ) и ([x]) = 0, а y; z ; t { как в определении . Так как [t] = 0, t = d(s) для s K i , положим y = f (s). Заметим, что d(y - y ) = z - df (s) = z - f d(s) = z - f (t) = z - z = 0 и g(y - y ) = x - gf (s) = x, следовательно [x] = H i (g)(y - y ) im H (g).

Сдвигом комплекса (K · ; d· ) называется комплекс (K [1]· ; d[1]· ), где K [1]i = K i+1 ; d[1]i = -di+1 (о братите внимание на смену знака!) Сдвиги на произвольные целые числа определяются аналогично. Несложно проверить, что инъективный или сюръективный (почленно) морфизм комплексов можно дополнить до точной тройки комплексов. Произвольный морфизм комплексов f · : K · L· дополнить до точной тройки нельзя, однако можно построить точную тройку, для которой связывающие гомоморфизмы в когомологиях будут совпадать с гомоморфизмами, индуцированными f · . Соответствующая конструкция называется конусом морфизма. Положим C i = K i+1 Li , определим дифференциалы
diC (k
i+1 ; li

Задача 3. Проверьте точность длинной последовательности в остальных членах.

) = (-d(ki+1 ); f (ki+1 ) + d(li )):

Легко видеть, что получится комплекс, он о бозначается C (f )· . Имеют место естественные морфизмы a· : L· C (f )· и b· : C (f )· K [1]· , они о бразуют точную тройку
a b 0 L - C (f ) - K [1] 0:

Предложение 2. Связывающие гомоморфизмы H (K ) H (L) для указанной точной тройки совпадают с гомоморфизмами, индуцированными f .
Доказательство. Пусть x Z i+1 (K ). По построению связывающего гомоморфизма берём y = (x; 0) C (f )i , z = dC ((x; 0)) = (-d(x); f (x)) = (0; f (x)), t = f (x) Z i+1 (L), значит ([x]) = [t] = [f (x)].
Как вычислять когомологии комплекса? Один из спосо бов { доказать, что они нулевые. Среди всех комплексов c нулевыми когомологиями проще всего устроены стягиваемые. Морфизм комплексов f · : K · L· называется гомотопным нулю, если существует набор морфизмов hi : K i Li-1 , для которых
f = dh + hd;

т.е., f i = di1 hi + hi+1 di . Два морфизма f · ; g · : K · L· гомотопны, если их разность гомотопна нулю. Очевидно, гомотопные нулю морфизмы о бразуют подгруппу, а гомотопия { отношение эквивалентности. Обозначение: f · g· . Задача 4. Сформулируйте и докажите: гомотопные нулю морфизмы о бразуют идеал.

Предложение 3. Гомотопные морфизмы f · ; g· : K
бражение на когомологиях.

·



L· индуцируют одинаковое ото-


10.09.2010 Листок 1 i (K ). Тогда H (f )([x]) = [f (x)] = [g (x) + Доказательство. Пусть f - g = dh + hd, а x Z dh(x) + hd(x)] = [g(x)] + [dh(x)] = [g(x)], так как класс кограницы dh(x) тривиален.

Задача 5. Пусть f · : K

·



L· { морфизм. Проверьте, что в последовательности
a b K L - C (f ) - K [1] - L[1] - - f f [1]

композиции af и f [1]b гомотопны нулю. Комплекс называется стягиваемым или гомотопным нулю, если его тождественное ото бражение в се бя гомотопно нулю. Комплексы K · и L· называются гомотопически эквивалентными, если существуют f · : K · L· и g· : L· K · такие, что f g IdL ; gf IdK . Типичный пример стягиваемого комплекса { комплекс вида (1)
:::0 M M 0:::

Верно и о братное: Задача 6. Любой стягиваемый комплекс есть прямая сумма сдвигов комплексов вида (1). Задача 7. Проверьте, что стягиваемый комплекс ацикличен, а гомотопически эквивалентные комплексы квазиизоморфны. Задача 8. Проверьте, что морфизм комплексов { a) квазиизоморфизм его конус ацикличен; b) гомотопическая эквивалентность его конус стягиваем. Сейчас мы вычислим гомологии Bar-резольвенты и (в некоторых случаях) комплекса Кошуля. Задача 9. Покажите, что ото бражения hi : K i K i+1 :
hi (b0 : : : bi+1 ) = 1 b0 : : : b
i+1

задают гомотопию тождественного морфизма Bar-резольвенты нулю. Получаем, что Barрезольвента стягиваема и тем самым ациклична (отметим, что мы построили гомотопию в категории правых B -модулей, а не бимодулей, но для вычисления гомологий это не важно). Рассмотрим комплекс Кошуля для сво бодного конечно порождённого модуля M = r A = r Aei . Элемент m имеет вид m1 e1 + : : : + mr er , mi A. 1 Задача 10. a) Запишите дифференциал в комплексе Кошуля "в координатах". b) Проверьте, что если в определении дифференциала комплекса Кошуля положить - m вместо m -, то получится изоморфный комплекс. Двойственным комплексом к комплексу (K · ; d· ) называется комплекс (K · ; d· ), для которого K i = HomA (K -i ; A), а di = (d-i-1 ) . c) Вычислите двойственный комплекс к комплексу Кошуля. Предположим, что для всякого 1 i r элемент mi { не делитель нуля в A=(m1 ; : : : ; mi-1 ) (в таком случае последовательность m1 ; : : : ; mr называется регулярной ).

Предложение 4. В сделанных предположениях комплекс Кошуля K (m) имеет нулевые когомологии при i = r, а H r (K (m)) = A=(m1 ; : : : ; mr ).
Доказательство. По индукции по r. При r = 1 очевидно. Перейдём от r - 1 к r. Запишем m = m + mr er . В комплексе Кошуля K (m) есть подкомплекс K (m ) er , соответствующий


10.09.2010 Листок 1 факторкомплекс изоморфен K (m ). Рассмотрим длинную точную последовательность в когомологиях, соответствующую точной тройке 0 K (m ) er K (m) K (m ) 0: По предположению индукции она нулевая за исключением куска 0H
r-1

(K (m)) H

r -1

(K (m )) - H r (K (m ) er ) H r (K (m)) 0:

Связывающий гомоморфизм { это умножение на ±mr . Действительно, K r-1 (m ) порождена о бразующим x = e1 : : : er-1 , выбираем y = e1 : : : er-1 K r-1 (m), получаем z = d(y) = m y = ±mr e1 : : : er , значит t = ±mr x er K r-1 (m ) er . Т.о., кусок длинной точной последовательности имеет вид 0H
r -1

(K (m)) A=(m1 ; : : : ; m

±mr - r -1 ) -

A=(m1 ; : : : ; m

r -1 )

H r (K (m)) 0;
r-1

откуда получаем тре буемое ввиду того, что mr { не делитель нуля в A=(m1 ; : : : ; m

).

Пусть K · и L· { комплексы. Определим комплекс морфизмов следующим о бразом. Положим Hom(K; L)i = Hom(K n ; Ln+i ); а дифференциал d переводит семейство (f
i n n)

Hom(K; L)i в семейство (gn ) Hom(K; L)i+1 ,
n+1

gn = df n - (-1)i f

d:

Задача 11. a) Проверьте, что это действительно дифференциал. b) Что такое циклы,
границы и когомологии в комплексе морфизмов?