Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/topology1-Sem1.ps Дата изменения: Mon Sep 27 21:00:32 2010 Дата индексирования: Sun Feb 13 13:23:58 2011 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, ОСЕНЬ 2010 Г.
1. ГОМЕОМОРФИЗМ
Задача 1. Докажите, что следующие пространства гомеоморфны: а) прямое произведение S 1
в · · · в S 1
(n сомножителей); б) куб [0; 1] n , в котором точки граней склеены по правилу (x 1 ; : : : ; x i ; 0; x i+2 ; : : : ; xn ) #
(x 1 ; : : : ; x i ; 1; x i+2 ; : : : ; xn ) для всех i и всех x 1 ; : : : ; x i ; x i+2 ; : : : ; xn ; в) пространство орбит действия группы Z n
на R n : вектору k = (k 1 ; : : : ; kn ) # Z n соответствует параллельный перенос T k (x 1 ; : : : ; xn ) = (x 1 + k 1 ; : : : ; xn +
kn ).
Джойном топологических пространств X и Y (обозначение X # Y ) называется фактор прямого произве-
дения X в [0; 1] в Y по отношению (x; 0; y 1 ) # (x; 0; y 2 ) и (x 1 ; 1; y) # (x 2 ; 1; y) для всех x; x 1 ; x 2 # X и всех
y; y 1 ; y 2 # Y . Джойн X # {pt}, где {pt} | пространство из одной точки, называется конусом над X и обо-
значается CX . Джойн X # S 0 , где S 0 | пространство из двух точек (с дискретной топологией), называется
надстройкой над X и обозначается X .
Задача 2. Докажите, что а) конус над сферой S n гомеоморфен диску B n+1 ; б) надстройка над сферой S n
гомеоморфна сфере S n+1 .
Задача 3. Докажите, что а) S 1
# S 1 гомеоморфно S 3 ; б) S n
# S k гомеоморфно S n+k+1 .
Задача 4. а) Докажите, что каждое из множеств A = {(z; w) # C 2 : |z| 2 + |w| 2 = 1; |z| # |w|} и B = {(z; w) #
C 2 : |z| 2 + |w| 2 = 1; |z| # |w|} гомеоморфно полноторию, то есть произведению S 1
в B 2 (окружности на
круг). б) Чему гомеоморфно пересечение A # B и объединение A # B? в) Докажите, что дополнение в R 3 к
стандартно вложенному полноторию (бублику) гомеоморфно полноторию без одной точки.
Задача 5. а) Докажите, что RP 1 (множество прямых на плоскости, проходящих через начало координат)
гомеоморфно окружности. б) Докажите, что CP 1 (множество комплексных прямых в C 2 , проходящих че-
рез начало координат) гомеоморфно двумерной сфере. в) Докажите, что множество прямых на плоскости
(не обязательно проходящих через начало координат) гомеоморфно ленте Мебиуса без границы. Куда пе-
реходит при гомеоморфизме множество прямых, проходящих через начало координат? через произвольную
фиксированную точку плоскости? множество прямых, параллельных оси абсцисс? множество прямых, пе-
ресекающих единичный круг с центром в начале координат? г) Докажите, что множество проективных
прямых на проективной плоскости гомеоморфно проективной плоскости. Куда переходит при этом гомео-
морфизме множество прямых, проходящих через заданную точку? множество прямых, касающихся заданной
окружности?
Задача 6. а) На пространстве R 2 действует группа из двух элементов Z=2Z = {1; -1}: преобразование,
соответствующее элементу -1, меняет местами координаты. Докажите, что пространство орбит этого дей-
ствия гомеоморфно полуплоскости с границей. б) Тот же вопрос для действия, в котором -1 меняет знак
у обеих координат. в) Рассмотрим действие группы Z=2Z, аналогичное пункту 6а, но на пространстве C 2 .
Докажите, что пространство орбит гомеоморфно C 2 . г) Рассмотрим действие группы Z=2Z, аналогичное
пункту 6б, но на пространстве C 2 . Опишите пространство орбит. д) (обобщение пункта 6в) На C n действует
перестановками координат группа перестановок n . Докажите, что пространство орбит гомеоморфно C n .
Задача 7. а) На двумерном торе S 1
в S 1 действует группа из двух элементов Z=2Z = {1; -1} аналогично
задаче 6а. Докажите, что пространство орбит действия гомеоморфно ленте Мебиуса. б) На пространстве
(S 2 ) n действует перестановками сомножителей группа перестановок n . Докажите, что пространство орбит
гомеоморфно CP n . в) На пространстве (T 2 ) n , где T 2 = S 1
вS 1 | двумерный тор, действует перестановками
сомножителей группа перестановок n . Докажите, что пространство орбит гомеоморфно T n
вCP n .
Указание. К пункту 7б: воспользуйтесь результатом задачи 5б.
Задача 8. а) Докажите, что множество RG+ (4; 2) ориентированных двумерных подпространств в R 4 гомео-
морфно S 2
в S 2 . б) Рассмотрим отображение f : RG+ (4; 2) # RG+ (4; 2), меняющее ориентацию плоскости.
Какому отображению S 2
в S 2 в себя оно соответствует при построенном в пункте 8а гомеоморфизме?
1