Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f12/analiz1-listok4.pdf Дата изменения: Thu Oct 11 00:24:39 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 18:20:57 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

НМУ, Математический анализ (1-й семестр).

Листок 4.

28 сентября 2012 г.

Метрические пространства. Компактность. Непрерывные отображения.

Метрикой (функцией расстояния) на множестве удовлетворяющая трем свойствам: (1)

X называется функция : X Ч X R,

(x, y ) = (y , x) 0 для всех x, y X ; (x, y ) = 0 достигается, если и только, если x = y ; (3) выполнено неравенство треугольника (x, z ) (x, y ) + (y , z ). Число (x, y ) называется расстоянием между точками x и y . 1. Пространство Rn по определению состоит из упорядоченных наборов n действительных чисел x = (x1 , . . . , xn ) Rn . (а) Проверьте, что функция 1 (x, y ) = max1 i n (|xi - yi |) является метрикой в Rn . Как выглядят шары в этой метрике? n n 2 (б) Проверьте, что функция 2 (x, y ) = i=1 (xi - yi ) также является метрикой в R . (в) Докажите полноту метрических пространств (Rn , 1 ) и (Rn , 2 ). Докажите, что множество в (Rn , 1 ) или (Rn , 2 ) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. 2. Верно ли, что для любой метрики функция
(2) равенство

(x, y ) = ~

(x, y ) 1 + (x, y )

снова является метрикой? 3. Докажите, что непрерывная функция f : X R на метрическом компакте (X, ) достигает своего максимального и минимального значений. 4. В метрическом пространстве шар большего радиуса может строго содержаться в шаре меньшего радиуса. Приведите пример. 5. Приведите пример полного метрического пространства и последовательности вложенных замкнутых шаров в этом пространстве, пересечение которых пусто. (Заметим, что, если радиусы шаров стремятся к нулю, то такая последовательность вложенных шаров обязана иметь общую точку.) 6. Докажите, что метрическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда у всякой последовательности, лежащей в X , есть предельная точка. Отображение f : X X называется сжимающим, если существует такое число 0 < q < 1, что для любых x, y X выполнено

(f (x), f (y ))

q (x, y ).

7. Докажите, что сжимающее отображение полного метрического пространства непрерывно и имеет ровно одну неподвижную точку. 8. Приведите пример отображения f : R R без неподвижных точек, такого, что |f (x) - f (y )| < |x - y | для любых x = y . 9. Докажите, что, если какая-то итерация f n отображения f полного пространства X в себя является сжимающей, то f имеет неподвижную точку. Может ли при этих условиях отображение f иметь несколько неподвижных точек. 10. Пусть 1 < < 3 и f (x) = x(1 - x). Докажите, что для всякой точки x (0, 1) последовательность f n (x) сходится к неподвижной точке отображения f . 11. (а) Пусть P (z ) = an z n + . . . + a1 z + a0 , z C. Докажите, что образ P (X ) любого замкнутого можества X C снова замкнутое множество. (б) Верно ли это для многочлена от двух переменных Q(x, y ) : R2 R, x, y R. 12. Пусть X компактное метрическое пространство, а F : X X отображение, такое, что (F (x), F (y )) < (x, y ) для любой пары различных точек x, y X . Докажите, что F имеет единственную неподвижную точку.