Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f13/calc13-t1-1.pdf Дата изменения: Thu Sep 12 16:11:35 2013 Дата индексирования: Fri Feb 28 20:07:11 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Независимый Московский Университет

Математический анализ 1-й курс 6 сентября 2013 года 1. Докажите
неравенство Бернулли

:

(1 + x)n

1 + nx

(n - натуральное, x
1000

-1).

2. Укажите такое натуральное n > 1, что 2n > n

.

3. Укажите такое натуральное n, что 1, 0001n > 1000000. 4. Докажите, что 100 2 < 1, 01. 5. При каком натуральном k величина
k2 1,001k

максимальна?

Определение. Отношением на множестве M называется подмножество множества пар M Ч M . Отношение R M Ч M называется отношением эквивалентности, если оно

ћ ћ ћ

симметрично транзитивно рефлексивно

, т.е. (x, y ) R (y , x) R;

, т.е. (x, y ) R, (y , z ) R (x, z ) R;

, т.е. (x, x) R

x M .

Множество попарно эквивалентных относительно R элементов множества M называется классом эквивалентности. 6. Дайте определение рационального числа как класса эквивалентности. Определите операции над рациональными числами.
Определение. Рациональным числом называется целочисленная прямая на плоскости, проходящая через начало координат и не совпадающая с осью ординат.

7. Докажите эквивалентность приведенного определения рационального числа вашему. Определите сложение и умножение целочисленных прямых. 8. Что такое 2? 9. Докажите, что 2 + 3 иррационально. (Доказательство: 2 + 3 = 1, 41 ћ ћ ћ + 1, 73 ћ ћ ћ = 3, 14 . . . - иррационально.) 10. Докажите, что сумма a1 b1 + ћ ћ ћ + ak bk иррациональна, если ai целые, а bi различные положительные целые, свободные от квадратов. 11. Рационально ли число sin 20o ? 12. Целочисленные точки на плоскости окружены кружками радиусом 10-10 . Докажите, что любая прямая, проходящая через начало координат, пересекает а) еще хотя бы один кружок; б) бесконечно много кружков. 13. Есть ли рациональные корни у многочленов а) 16 + 8x + 2x2 + 2x3 + x4 ; б) 6 + 2x2 + 3x3 + 6x4 ; в) 10 + 5x + 10x2 + 2x4 ? 14. Докажите, что существуют два иррациональных числа a и b, такие что а) a + b, ab рациональны; б) ab рационально.


15. Докажите, что а) существует пара целых чисел m и n, такая что |m - n 2| < 10 б) таких пар бесконечно много.
Цепные дроби.

-10

;

16.

17. 18.

19.

20.

Пары1 (m, n) из последней задачи дают приближение 2 m с высоn кой точностью (порядка 10 n ). Ниже описаны способы получения наилучших приближений иррациональных чисел рациональными. Изобразим число (положительное, для определенности) лучом y = x в первом квадранте плоскости. Отметим целые точки (k, n), k, n Z+ . Обозначим через + и - ломаные, являющиеся частями границ выпуклых оболочек множеств целых точек, расположенных выше и ниже луча соответственно (рисунок необходим). Занумеруем единой нумерацией вершины uk = (qk , pk ) обеих ломаных, u2k-1 - , u2k + . Докажите, что числа pk /qk приближают с ошибкой, не превышающей 1/(qk )2 . Мы строим последовательность параллелограммов, натянутых на векторы Ouk-1 , Ouk . Вершина N с координатами uk-1 + uk , противоположная вершине O, называется ?носом?. Начальный параллелограмм единичный квадрат, u-1 = (0, 1), u0 = (1, 0). Далее поступаем так: перемещаем отрезок uk-1 N вдоль прямой, на которой он лежит, до тех пор, пока точка N не пересечет исходный луч, и еще немного, чтобы концы сдвинутого отрезка попали в целые точки. Начало сдвинутого отрезка обозначим через uk+1 . Это и задает новый параллелограмм. Докажите, что полученные точки uk те же, что и в методе вбивания колышков. Докажите, что все параллелограммы имеют одинаковую площадь 1. Выведите отсюда равенство |pk /qk - pk+1 /qk+1 | = 1/(qk qk+1 ), приводящее к той же оценке на порядок приближения числа , что и выше. Цепной дробью называется бесконечная дробь вида a1 + a + 1 , ai N (a1 0). Докажите, что каждое иррациональное число допускает единственное представление в виде бесконечной цепной дроби (цепная дробь конечна тогда и только тогда, когда она представляет рациональное число). Если в бесконечной цепной дроби отбросить все члены, начиная с (n + 1)-го, то получатся рациональные приближения исходного иррационального числа. Докажите, что полученные рациональные приближения совпадают с приближениями, полученными методами вбивания колышков и вытягивания носов. Как при помощи этих методов определить числа ak ? Пусть, например, = 2. Воспользовавшись многократно равенством 2 = 1 + 1+12 , получаем
10



Метод вбивания колышков.

Метод вытягивания носов.

2

1 a3 +...

2=1+

Таким образом, цепная дробь для числа бесконечна, что дает альтернативное доказательство иррациональности числа . 21. Найдите разложение в цепную дробь чисел . В действительности, последовательность ak коэффициентов разложения числа в цепную дробь периодична, начиная с некоторого места, тогда и только тогда, когда число предста вимо в виде = a + b, где a и b рациональны, иными словами, когда является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Изложенный ниже материал и задачи 1521 факультативны. Больше о цепных дробях можно узнать из книг: В. И. Арнольд. Цепные дроби. - М.: МЦНМО, 2000; А. Я. Хинчин. Цепные дроби. М.: ГИФМЛ, 1960.

1 1 1 1 =1+ =1+ =1+ 1 1 1 1+ 2 2+ 2+ 2+ 1 1 1+ 2 2+ 2+ 2 + ... 1+ 2 2 2 3, 5, 6