Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f13/calc13-t1-7.pdf Дата изменения: Fri Oct 18 19:30:08 2013 Дата индексирования: Fri Feb 28 20:07:32 2014 Кодировка: Windows-1251

Независимый Московский Университет

Математический анализ 1-й курс, листок 7 18 октября 2013 года
Определение

(аналитическое). Производной функции f в точке a называется предел )-f p = f (a) = lim f (xx-a (a) , если он существует.
xa

Определение

(геометрическое). Производной функции f в точке a называется такое число p, что для функции f в окрестности точки a имеется разложение

f (x) = f (a) + p(x - a) + o(x - a).
1. Докажите равносильность определений. Докажите, что если функция имеет производную в некоторой точке, то она непрерывна в ней. 2. Вычислите производную (tg x) ; (arctg) . 3. Сколько производных существует у функций x5/2 ; x3 sin(1/x), доопределенных в нуле нулем? {2 x - y2 = a 4. Под каким углом пересекаются гиперболы ? xy = b 5. Докажите f 0 f = const; f = const f линейная функция; f (N ) 0 для некоторого N (в частности, все производные до порядка N определены) f многочлен. 6. Для дифференцирования степенных рядов нужно знать только производную степенной функции (xk ) . Вычислите (ex ) . 7. Дан ряд f (x) = an xn с радиусом сходимости R. Какой радиус сходимости ряда nan xn-1 ? (x) = n-1 в интервале сходимости. Докажите, что f nan x 8. Докажите следующую формулу, выражающую правило дифференцирования композиции, обратной функции, изменение производной при замене координаты:

d f (g (x)) = f (g (x))g (x). dx
9. (Алгебраическое определение производной). Зададим на множестве многочленов операцию, сопоставляющую многочлену f оп переменной x новый многочлен (f ), при помощи следующих аксиом: линейность, (f + чg ) = (f ) + ч(g ) (, ч числа); правило Лейбница, (f g ) = (f )g + f (g ); нормировка, (x) = 1. Докажите, (1) = 0. (f ) = f . Если последнюю аксиому заменить условием (x) = p0 , то (f ) = f p0 . 10. Рассмотрим на множестве многочленов операцию

( D = exp

d dx

)

1d 1 =1+ + 1! dx 2!

(

d dx

)2 + ћћћ .

Вычислите D(1); D(x); D(f ) для произвольного многочлена f .


11. Докажите следующие теоремы Ролля и Лагранжа: пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема внутри него. Тогда Если f (a) = f (b), то существует точка x [a, b], такая что f (x) = 0. )-f В общем случае существует точка x [a, b], такая что f (x) = f (bb-a (a) .