Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f13/belavin-parhomenko-Listok6.pdf Дата изменения: Thu Jan 23 17:21:37 2014 Дата индексирования: Sat Mar 1 22:04:35 2014 Кодировка: Windows-1251

Итак коммутационные соотношения для генераторов алгебры Лоренца:
[J ч , J ] = i(g J
(a). (15 баллов)
ч

1.

( Сканы/фото решений данного листка принимаются до: на e-mail: grigory@princeton.edu ) Все задачи в этом листке взяты из книги Пескина Шредера, глава 3.
(45 баллов) Представления группы Лоренца

Листок 6. Поле Дирака

27.10.13

- g ч J



- g J

ч

+ g ч J ).

(0.1) (0.2) (0.3)

Определим генераторы поворотов и бустов по формулам
Li = 1 2
ij k

J jk ,

K i = J 0i ,

где

i, j, k = 1, 2, 3.

Инфинитезимальное преобразование Лоренца может быть записано как
(1 - i ћ L - i ћ K ). L
i

Запишите коммутационные соотношения для

и

K

i

явно. Покажите, что комбинации

(0.4) коммутируют друг с другом, и по отдельности удовлетворяют коммутационным соотношениям момента импульса. (b). (15 баллов) Конечномерные представления группы вращений нумеруются допустимыми значениям орбитального момента: целыми и полуцелыми числами. Из результата части (a) следуют, что все конечномерные представления группы Лоренца соответствуют парам целых или полуцелых чисел, (j+, j-), которые в свою очередь cоответствуют паре представлений группы поворотов. Используя то, что J = /2 для представления спина-1/2, запишите явно закон преобразования для 2-компонентных объектов преобразующихся по представлениям ( 1 , 0) и (0, 1 ) группы 2 2 Лоренца. Покажите, что это есть в точности преобразования для L и R:
1 J+ = (L + iK ), 2 1 J- = (L - iK ) 2 L (1 - i ћ
(с). (15 баллов)

- ћ )L , 2 2
2

R (1 - i ћ

+ ћ )R . 2 2 L

(0.5) в экви(0.6)

валентной форме

Тождество

T = - 2

позволяет переписать преобразование для
+ ћ ), 2 2

(1 + i ћ

T где = L 2. Используя этот закон, мы можем записать объект, который преобразуется по 1 представлению ( 1 , 2 ) как 2 Ч 2 матрица, которая преобразуется по закону R с левой стороны и 2 одновременно преобразуется по закону транспонированного L с правой. Запишите эту матрицу в виде

V0+V V 1 + iV

3 2

V 1 - iV V0-V

2 3

.

(0.7)

1


Покажите, что объект Выведите тождество

V

ч

преобразуется как 4-вектор.

2 (10 баллов). Тождество Гордона

u(p ) ч u(p) = u(p ) ? ?

p ч + pч i ч q + 2m 2m



u(p),

(0.8)

где

q = (p - p).

3 (45 баллов). Произведение спиноров
ч ч 2 2 Пусть k0 , k1 фиксированные 4-векторы, удовлетворяющие k0 = 0, k1 = -1, k0 ћ k1 = 0. Определим базис спиноров следующим способом: Пусть uL0 будет левополяризованным спинором для фермиона с импульсом k0. Пусть uR0 = k1uL0. Тогда для любого светоподобного импульса p (p2 = 0), определим:

uL (p) =

1 puR0 , 2p ћ k0

uR (p) =

1 puL0 . 2p ћ k0

(0.9)

Такой набор условий определяет спиноры однозначно (кроме случая, когда p параллелен k0). (a). (15 баллов) Покажите, что k0 uR0 = 0. Покажите, что для любого светоподобного p puL (p) = puR (p) = 0. (b). (15 баллов) Для k0 = (E , 0, 0, -E ), k1 = (0, 1, 0, 0), постройте uL0 , uR0 , uL (p) и uR (p) явно. (c). (15 баллов) Определим спинорные произведения s(p1 , p2 ) и t(p1 , p2 ), для светоподоных p1 , p2 , по формулам s(p1 , p2 ) = uR (p1 )uL (p2 ), t(p1 , p2 ) = uL (p1 )uR (p2 ). ? ? (0.10) Используя явные выражения для u в части (b), вычислите спинорные произведения явно и покажите, что t(p1, p2) = (s(p2, p1)) и s(p1, p2) = -s(p2, p1). Также покажите, что |s(p1 , p2 )|2 = 2p1 ћ p2 . (0.11) Откуда видно, что спиноры это квадратные корни из cкалярного произведения 4-векторов. Релятивистское уравнение для безмассового 2-компонентного фермионного поля, которое преобразутеся как верхние две компоненты Дираковского спинора (L) можно записать как: i(0 - ћ )L = 0 (0.12) Обозначим такое двухкомпонентное поле a(x), a = 1, 2. (a). (20 баллов) Покажите, что можно записать уравнение для (x), как для массивного поля в следующем виде i ћ - im 2 = 0. ? (0.13) 2
4 (100 баллов). Майорановские фермионы


То есть, покажите вначале, что это уравнение является релятивистски инвариантным, а затем, что из него можно получить уравнение Клейна-Гордона ( 2 + m2) = 0. Такая форма фермионной массы называется Майорановское массовое слагаемое. (b). (20 баллов) Следует ли уравнение Майорана из лагранжиана? Казалось бы, массовое слагаемое, получается варьированием выражения (2)ab ; Однако, так как 2 антисимметричная ab матрица, это выражение обратилось бы в нуль, если бы (x) было бы обычным c-числовым полем. Известно, что при переходе к квантовой теории поля (x) становится антикоммутирующим квантовым полем. Следовательно, имеет смысл развивать классическую теорию поля, рассматривая (x) как классическое антикоммутирующее поле, то есть как поле, которое принимает значения в грассмановых числах, удовлетворяющих условиям: = - , для любых , . (0.14) Заметим, что из этих соотношений следует, что 2 = 0. Грассманово поле (x) может быть разложено по базису функций как ( x) = n n (x), (0.15)
n

где n(x) ортогональные c-числовые функции и n набор независимых грассмановых чисел. Определим комплексное сопряжение произведения грассмановых чисел как обращающее их порядок: ( ) = - . (0.16) Это правило по форме совпадает с эрмитовым сопряжением квантовых полей. Покажите, что классическое действие
S= d4 x i ћ + ? im T 2 ( - 2 ) , 2

(0.17)

(где = ()T ) является вещественным (S = S ) и варьирование S относительно и приводит к уравнению Майорана. (c). (20 баллов) Запишем 4-компонентное дираковское поле
(x) = L R

(0.18)

и напомним, что нижняя компонента преобразуется по представлению, унитарно эквивалентному комплексно-сопряженному представлению L. Таким образом, можно переписать 4-компонетное дираковское поле в терминах двух 2-компонентных спиноров: L (x) = 1 (x), R (x) = i 2 (x). (0.19) 2 Перепешите лагранжиан Дирака в терминах 1 и 2 и обратите внимание на форму массового слагаемого. (d). (20 баллов) Покажите, что действие пункта (c) имеет глобальную симметрию. Вычислите дивергенции токов J ч = ч , J ч = ч 1 - ч 2 , ? (0.20) 1? 2? 3


для теорий пунктов (b) и (с) соответственно, и свяжите результаты с симметриями этих теорий. Постройте теорию из N свободных массивных 2-компонентных фермионных полей с O(N ) симметрией (то есть с вращательной симметрией в N -мерном пространстве). (e). (20 баллов) Проквантуйте теорию Майорана пунктов (а) и (b). Иными словами, рассмотрите (x) как квантовое поле, удовлетворяющее каноническому антикоммутационному соотношению {a (x), (y )} = ab (3) (x - y ). (0.21) b Постройте эрмитовый гамильтониан и найдите представление канонических коммутационных соотношений, которое диагонализует гамильтониан в терминах набора операторов рождения и уничтожения. (Подсказка: сравните поле (x) с двумя верхними компонентами проквантованного дираковского поля)

4