Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f13/difgeom1-burman-Lect6.pdf Дата изменения: Tue Oct 15 19:13:55 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:51:47 2014 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ

ЛЕКЦИЯ 6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ОСЕНЬ 2013 Г

Краткое содержание. Операции на векторных расслоениях.

Пусть : X B | векторное расслоение ранга k, U; V B | тривиализующие окрестности, U : -1 (U ) Rk | тривиализация, 'U V : Rk Rk def V |-1 (x) U |-1 (x) : Rk Rk | ото бражение перехода = x (для каждого x U V ). Набор ото бражений перехода о бладает очевидными свойствами: 1) 'U U = I x U (единичный оператор); x 2) 'V U = ('U V )-1 x U V ; x x 3) 'U V 'V W 'W U = I x U V W . x x x (разумеется, 2 следует из 1 и 3).

Лемма 1. Пусть B | топологическое пространство, покрытое открытыми множествами, и для каждой пары U; V таких множеств задано семейство линейных операторов 'U V : Rk Rk , непрерывно зависящих x от точки x U V и обладающих свойствами 1{3. Тогда существует и единственно (с точностью до эквивалентности) векторное расслоение ранга k с базой B , для которого 'U V являются отображениями x перехода.
Доказательство. Для доказательства существования поступим, как при доказательстве существования многоо бразия с данным атласом: рассмотрим множества U в Rk для всех открытых множеств U , упомянутых в условии, и отождествим при каждом x U V и каждом q Rk пары (x; q) U в Rk и (x; 'U V q) V в Rk . Обозначим E фактор дизъюнктного о бъединения всех U в Rk по всем отождествлениям. x Ото бражение p : E B определено формулой p(x:q) = x | очевидно, оно выдерживает склейку. Докажем, что разные точки слоя p-1 (x) при этом не отождествляются: если (x; q1 ) (x; q2 ) U в Rk , то q1 = q2 . Действительно, (x; q1 ) (x; q2 ) означает, что существует последовательность открытых множеств U U1 = U; U2 ; : : : ; UN = U таких, что x Ui при всех i и q2 = 'x N 1 UN : : : 'U2 U1 (q1 ). Применяя N - 1 раз x свойство 3 и затем свойство 1, получим q2 = 'U U (q1 ) = q1 . x Теперь определим тривиализацию U : p-1 (U ) = U в Rk как проекцию на второй сомножитель.
-

Пусть теперь : X B | расслоение ранга k. Определим расслоение с ото бражениями перехода (('U V ) )-1 (слой (Rk ) = Rk ). Поскольку для любых линейных операторов A; B имеют место равенx ства (AB ) = B A и (AB )-1 = B -1 A-1 , свойства 1{3 выполнены, и расслоение определено. Оно называется расслоением, двойственным к . Расслоение, двойственное к касательному расслоению многоо бразия M , называется кокасательным и о бозначается T M . Пусть v -1 (a) и ( )-1 (a), где a U B , U | тривиализующая окрестность. Определим число ; v def ( U (v); %U ( )), где U ; %U | тривиализации исходного и двойственного расслоения; в правой = части стоит стандратное скалярное произведение в Rk . Из определения двойственного расслоения вытекает, что ; v не зависит от тривиализации: если a U V , то ( V (v); %V ( )) = ('U V U (v); U V %U ( )) = a a ((U V ) 'U V U (v); %U ( )) = ( U (v); %U ( )). Тем самым слой ( )-1 (a) двойственного расслоения естественно a a отождествляется с пространством ( -1 (a)) , двойственным к слою исходного расслоения. Пусть теперь : Y B | другое расслоение (ранга l) с той же базой и ото бражениями перехода U !x V : Rl Rl . Символом о бозначим расслоение ранга k + l с базой B и ото бражениями перехода U V = x UV UV k+l Rk+l . Нетрудно проверить (проделайте!), что свойства 1{3 выполнены. Полученное x !x : R расслоение называется прямой суммой расслоений и ; аналогично случаю двойственного расслоения можно показать, что слой этого расслоения над точкой a естественно изоморфен прямой сумме слоев расслоений и над той же точкой. Также можно рассмотреть расслоение , в котором стандартным слоем будет U U Rk Rl = Rkl , а ото бражениями перехода U V = x V !x V | это тензорное произведение расслоений и x ; его слой | тензорное произведение слоев и . В тензорной степени n расслоения существуют подрасслоения S n ( ) и n | симметрическая и внешняя степень расслоения . Их слои состоят из, соответственно, симметрических и кососимметрических тензоn ров S n (Rk ); (Rk )n (Rk )n = Rk (во втором случае, разумеется, n k), а ото бражениями перехода служат ограничения n-й тензорной степени ('U V )n на множество таких тензоров | они иногда называются, соотx ветственно, симметрической и внешней степенью оператора 'U V . Ранги симметрической и внешней степени x n n равны, соответственно, Ck+n и Ck . Можно рассмотреть также полную внешнюю алге бру , порожденную
U V def x=
1


данным расслоением ; это расслоение ранга 2k со структурой алге бры (т.е. с билинейным умножением) в слоях. ~ Если имеется морфизм расслоений 1 : X1 B1 и 2 : X2 B2 , т.е. пара F = (f ; f ) непрерывных -1 - ~ : X1 X2 таких, что f 1 = 2 f и ограничение f ~ ~ ото бражений f : B1 B2 , f : (x) 2 1 (f (x)) 1 1 (x) 1 является линейным ото бражением, а также морфмзм G = (f ; g) расслоений 1 : Y1 B1 и 2 : Y2 B2 (с ~ тем же f !), то определены морфизмы расслоений F G : 1 1 2 2 , F G : 1 1 2 2 , а также S n (F ) : S n (1 ) S n (2 ) и F n : 1 n 2 n следующим о бразом. Пусть, например, Z1 | тотальное пространство расслоения 1 1 : Z1 B1 , и Z2 | аналогично для 2 2 . Пусть z Z1 ; тогда по определению прямой суммы расслоений z = a + b, где a X1 , b Y1 и 1 (a) = 1 (b) def x B , причем = ~ ~ a и b определены однозначно. Положим тогда %(z ) = f (a) + g(b); по определению, 2 (f (a)) = 2 (g(b)) = f (x), ~ ~ так что сумма определена и мы построили морфизм расслоений. Для всех остальных случаев конструкция аналогична: в качестве морфизма рассматривается пара (f ; %), где %(z ) при z в слое над точкой x B получается применением соответствующей операции (тензорного умножения, симметрической степени и т.п.) к линейным ото бражениям в слоях расслоений 1 (и, если нужно, 1 ) над точкой x. Заметим, однако, что для двойственного расслоения такой конструкции нет, поскольку оператору A : Rk Rl соответствует не другой оператор Rk Rl , а оператор A : Rl Rk , действующий в о братную сторону. Обо бщением приведенных конструкций является следующая: пусть F | `-местный ковариантный функтор на категории векторных расслоений с морфизмами | о братимыми линейными ото бражениями. Тогда для любого набора расслоений 1 ; : : : ; ` рангов k1 ; : : : ; k` с одной и той же базой B можно определить расслоение F (1 ; : : : ; ` ) с той же базой, беря в качестве стандратного слоя F (Rk1 ; : : : ; Rk` ), а в качестве ото бражения перехода 'U V = F (('U V )(1) ; : : : ; ('U V )(`) ), где ('U V )(i) | ото бражение перехода расслоения i . Выполнение x x x x свойств 1{3 вытекает из того, что F | ковариантный функтор. Если F | ковариантный функтор на категории линейных пространств с морфизмами | произвольными линейными ото бражениями, и имеется набор морфизмов gi = (fi ; f ) : i i (где f : B1 B2 | непрерывное ото бражение баз), то возникает морфизм расслоений F (g1 ; : : : ; g` ) : F (1 ; : : : ; ` ) F (1 ; : : : ; ` ).
-