Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f14/geom2014-listok3.pdf Дата изменения: Mon Sep 22 18:43:18 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 15:49:07 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: ч нн

+b Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости | это ото бражение вида z az+d , где числа a, b, c, d cz и z комплексные, ad - bc = 0. Что бы дро бно-линейные прео бразования комплексной плоскости были определены всюду, их нужно рассматривать на комплексной плоскости, пополненной одной точкой .

Геометрия: листок 3. Дро бно-линейные прео бразования комплексной плоскости (22 сентября 2014)

Задача 1. Докажите, что дро бно-линейное прео бразование комплексной плоскости переводит любую окружность или прямую в окружность или прямую. окружностями.

Задача 2. Докажите, что дробно-линейное прео бразование комплексной плоскости сохраняет углы между Задача 3. Докажите, что точки z1 , z2 , z3 и z4 лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда их двойное отношение [z1 ; z2 ; z3 ; z4 ] вещественно. Задача 4. Числа a, b, c и d вещественные и ad - bc > 0. Докажите, что дробно-линейное ото бражение z
ото бражает верхнюю полуплоскость (комплексные числа с положительными мнимыми частями) на се бя.
+b az+d cz

Инверсия в пространстве относительно сферы S с центром O | это прео бразование, при котором точка A (отличная от точки O) переходит в точку A , которая лежит на луче OA и OA · OA = R2 , где R | радиус сферы S .

Задача 5. Докажите, что при инверсии (в пространстве) сфера или плоскость переходит в сферу или плоскость; прямая или окружность переходит в прямую или окружность.

Задача 6. Докажите, что инверсия (в пространстве) сохраняет углы между окружностями. Задача 7. Докажите, что инверсия (в пространстве) сохраняет двойное отношение четырёх точек в пространстве, которое мы определяем как
CA CB

:

DA DB

.

Задача 8. Проведём через точку A, не лежащую на данной сфере S , все сферы, ортогональные сфере S .
Докажите, что все они имеют ещё одну о бщую точку. Пусть точка O | центр сферы S , плоскость проходит через точку O, перпендикуляр к плоскости , проходящий через точку O, пересекает сферу в точке N . Стереографическая проекция сферы S на плоскость переводит точку A сферы (отличную от точки N ) в точку пересечения прямой N A и плоскости .

Задача 9. Докажите, что стереографическая проекция | это ограничение на сферу некоторой инверсии в
пространстве.

Задача 10. Плоскость , проходящая через центр сферы S , пересекает сферу по окружности. На хорде AB

этой окружности взяты точки C и D и спроецированы на сферу S (ортогонально плоскости ). Докажите, что 2 CA DA C A DA (C и D | проекции точек C и D). C B : DB = C B : D B

Задача 11. Докажите, что при стереографической проекции симметрия сферы S относительно плоскости

(проходящей через центр) переходит в инверсию относительно некоторой окружности (или в симметрию относительно прямой). В частности, симметрия относительно плоскости переходит в инверсию относительно окружности, по которой сфера S пересекает плоскость .