Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f14/geom2014-listok6.pdf Дата изменения: Sun Oct 19 14:17:25 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 15:49:15 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Геометрия: листок 6. Модели Клейна и Пуанкаре геометрии Ло бачевского (13 октября 2014)
перпендикуляром в смысле геометрии Ло бачевского.

Задача 1. Докажите, что перпендикуляр (в смысле евклидовой геометрии) к диаметру модели Клейна является Задача 2. Как (с помощью евклидовых циркуля и линейки) выполнить следующие построения в модели Клейна: а) построить середину данного отрезка; б) провести из данной точки перпендикуляр к данной прямой; в) построить биссектрису угла между данными двумя прямыми?

Углом параллельности для точки A и прямой l называют половину величины угла, о бразованного лучами с вершиной A, параллельными прямой l.

Задача 3. Пусть | угол параллельности, a | расстояние от точки до прямой. Докажите, что e Задача 4. Докажите, что в гипер болической геометрии сумма углов треугольника меньше .

-

a

= tg( =2).

Задача 5. Докажите, что кратчайший отрезок, проведённый из точки к прямой, | перпендикуляр. Задача 6. Докажите, что при движении точки по одной из двух параллельных прямых расстояние до другой
прямой изменяется от 0 до


.

Величины углов треугольника AB C будем о бозначать , и , а длины противолежащих им сторон будем о бозначать a, b и c. Задача 7. Докажите, что в треугольнике с прямым углом выполняются следующие соотношения: а) ch c =
ch a ch b; б) th a = sh b tg .

Задача 8. С помощью задачи 7 докажите, что в треугольнике с прямым углом выполняются также следующие соотношения: sh a = sh c sin , th b = th c cos , cos = ch a sin , ctg ctg = ch c.
sh sh sh Задача 9. Докажите, что sin a = sin b = sin c (теорема синусов). Задача 10. Докажите, что ch a = ch b ch c - sh b sh c cos (первая теорема косинусов).

Задача 11. Докажите, что cos = - cos cos + sin sin ch a (вторая теорема косинусов). Задача 12. Докажите, что если соответственные углы двух треугольников равны, то равны и сами треугольники.

Задача 13. Докажите, что площадь гипер болического треугольника равна

-

-

-

. .

Задача 14. Докажите, что длина гиперболической окружности радиуса r равна 2 sh r. Задача 15. Докажите, что площадь гипер болического круга радиуса r равна 4 sh2
r 2

Задача 16. Три угла четырехугольника равны =2, а четвертый угол равен . Найдите , если известны длины a и b сторон, соединяющих прямые углы. Задача 17. Докажите, что все треугольники с вершинами на абсолюте равны. Задача 18. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.