Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/repr3.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:06:45 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 3
Эта лекция посвящена первому содержательному примеру | представлениям группы SU 2 . Тем не менее,
начнем с общей теоремы.
Пусть G | группа Ли, g | ее алгебра Ли, % | конечномерное представление G в пространстве V . Тогда
g действует на V производными действия однопараметрических семейств. Соответствующее представление
назовем производной от % и обозначим % 0 . Кроме того, мы хотим, наоборот, проинтегрировать предста-
вление алгебры Ли до представления группы.
Теорема 1. Пусть G | связная односвязная группа Ли, g | ее алгебра Ли,  | конечномерное предста-
вление g в пространстве V . Тогда однозначно определено представление % группы G в пространстве V ,
производная которого % 0 совпадает с .
Доказательство.
Экспоненциальное отображение однозначно определяет действие некоторой окрестности единицы группы
G в пространстве V . Для начала формализуем понятие представления для окрестности единицы в группе
Ли.
Определение 1. Локальной группой называется следующий набор данных:
 открытое множество U  R N ,
 его открытое подмножество U 0  U ,
 гладкие отображения "умножения" U 0  U 0 ! U и "взятия обратного" U 0 ! U ,
 единица e 2 U 0 .
При этом аксиомы группы выполнены всегда, когда они имеют смысл:
 если a; b; c 2 U 0 , ab 2 U 0 и bc 2 U 0 , то a
(b
c) = (a
b)
c,
 для всех x 2 U 0 выполнено e
x = x
e = x,
 если x 2 U 0 , x 1 2 U 0 , то x
x 1 = x 1
x = e.
Определение 2. Представлением % локальной группы (U; U 0 ) в пространстве V называется отображение
U ! GL(V ), такое что если a; b 2 U 0 , то %(a
b) = %(a) ф %(b).
Мы хотим продолжить представление % окрестности единицы (U; U 0 ) группы G до представления группы
G. Чтобы определить действие элемента g 2 G, соединим его путем l с единицей группы. Разобьем путь l
точками e = p 0 ; p 1 ; : : : ; pn = g так, чтобы g i = p i
p 1
i 1 2 U 0 , и положим
%(g; l) = %(g n ) ф


ф %(g 1 ):
Из определения локальной группы и ее представления следует, что если разбиения пути l достаточно мелкие
(формализуйте это!), то %(g; l) не зависит от разбиения. Кроме того,
%(g 1 ; l 1 ) ф %(g 2 ; l 2 ) = %(g 1
g 2 ; l 1 g 2 + l 2 );
где l 1 g 2 | применение правого сдвига к пути l 1 , а знак "+" означает пририсовывание одного пути к другому.
Наконец заметим, что из определения локальной группы и ее представления следует, что %(g; l) зависит
только от гомотопического класса пути l. Поэтому для односвязной группы можно положить %(g) = %(g; l)
для произвольного пути l и получить требуемое представление группы.
Упражнение 1. Пусть % 1 и % 2 | представления группы Ли. Докажите, что всякое отображение пред-
ставлений % 1 в % 2 является отображением представлений % 0
1 в % 0
2 и наоборот.
Таким образом, категории представлений связной односвязной группы Ли и ее алгебры Ли эквивалентны.
Следствие 1. (Унитарный прием Г.Вейля) Пусть G | компактная односвязная группа Ли. Тогда конеч-
номерные представления Lie(G), а также конечномерные комплексные представления ее комплексифика-
ции LieC (G) =
Lie(G)
C | вполне приводимы.
Условие односвязности можно ослабить до конечности фундаментальной группы, но совсем отказаться
от него нельзя.
Упражнение 2. Приведите пример представления абелевой алгебры Ли (алгебры Ли тора), не являюще-
гося вполне приводимым.
И так, перейдем к группе SU 2 . Она односвязна и комплексификация ее алгебры Ли изоморфна алгебре
Ли sl 2 матриц 2  2 с нулевым следом. Тем самым, мы знаем, что представления алгебры Ли sl 2 вполне
приводимы и нам достаточно изучить ее неприводимые представления.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3
Теорема 2. Существует ровно одно с точностью до изоморфизма неприводимое представление алгебры
Ли sl 2 данной размерности.
По ходу доказательства выясним, как устроены эти представления. Выберем базис в sl 2 : пусть
e =

0 1
0 0

h =

1 0
0 1

f =

0 0
1 0

:
Тогда [h; e] = 2e, [h; f ] = 2f , [e; f ] = h.
Пусть в дальнейшем V | неприводимое представление sl 2 . Для краткости будем опускать значок % для
действия элементов алгебры Ли. То есть выражения вида efv следует понимать как %(e)%(f)v.
Предложение 1. Элемент h действует на неприводимых представлениях диагонализуемой матрицей.
Доказательство. Пусть V 0  V | сумма собственных подпространств h. Убедимся, что V 0 | подпред-
ставление, а следовательно, V 0 = V .
Пусть v | собственный вектор с собственным значением . Тогда ev и fv | также собственные векторы:
hev = ehv + [h; e]v = ev + 2ev = ( + 2)ev; hfv = fhv + [h; f ]v = fv 2fv = ( 2)fv:
То есть, подпространство V 0 сохраняется при действии базисных элементов e, h и f , а значит, является
подпредставлением.
Определение 3. Собственные значения h называются весами представления V , максимальное из собствен-
ных значений называется старшим весом V . Размерность соответствующего собственного подпространства
называется кратностью веса.
Предложение 2. Старший вес неприводимого представления sl 2 | неотрицательное целое число.
Доказательство. Пусть  | старший вес, v | собственный вектор с собственным значением . Рассмо-
трим набор векторов f i v, где i = 0; 1; 2; : : : . Вычислим действие e на этих векторах. Во первых, ev = 0 как
вектор с весом, большим старшего. Далее, ef k v = f k ev + [e; f k ]v = [e; f k ]v. Используя правило Лейбница для
коммутации с произведением, получим
ef k v =
k 1
X
l=0
f k l 1 [e; f ]f l v =
k 1
X
l=0
f k l 1 hf l v =
k 1
X
l=0
( 2l)f k 1 v = (k k(k 1))f k 1 v:
(1)
Заметим, что веса векторов f i v различны (они равны  2i), значит, поскольку представление конечно-
мерно, рано или поздно эти векторы станут нулевыми. Пусть k | наименьшее число, такое что f k = 0.
Тогда 0 = ef k v = (k k(k 1))f k 1 v, а поскольку f k 1 v 6= 0, имеем (k k(k 1)) = 0 и  = k 1 | целое
неотрицательное число.
Предложение 3. Кратность весов неприводимого представления алгебры sl 2 равна единице.
Доказательство. Пусть v | вектор старшего веса. Тогда, согласно формуле (1), векторы f i v образуют
подпредставление. В силу неприводимости оно совпадает со всем пространством.
Предложение 4. Неприводимое представление sl 2 со старшим весом  2 Z + существует, единственно с
точностью до изоморфизма и имеет размерность  + 1.
Доказательство. Действительно, проверка коммутационных соотношений показывает, что формула (1)
определяет действие алгебры Ли sl 2 на пространстве с базисом v, fv, f 2 v; : : : ; f  v, где v | вектор старшего
веса .
Рассмотрим произвольное представление со старшим весом . Пусть v | вектор веса . Тогда, по
формуле (1), f i v 6= 0 при i <  + 1, и если f +1 v 6= 0, то f i v 6= 0 для всех i, что противоречит конечномер-
ности. Кроме того, векторы f i v, i = 1 : : :  линейно независимы как векторы с различными собственными
значениями действия h. Таким образом, наше представление изоморфно построенному выше.
Назовем V  представление со старшим весом . Мы знаем. что представление V 0 | тривиальное, V 1 |
тавтологическое, V 2 | присоединенное.
Упражнение 3. Докажите, что V 
 = S  (V 1 ).
Задача 1. Найдите характер V  как представления группы SU 2 .
Разложим тензорное произведение неприводимых представлений на неприводимые:
V
1
V 2 =
M

 3
1;2 V3 :
Числа  3
1;2 называются коэффициентами Клебша{Гордона
Задача 2. Вычислите коэффициенты Клебша{Гордона для представлений sl 2 .

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 33
Оператор Каземира
Пусть g | алгебра Ли с выбранной инвариантной невырожденной билинейной (не эрмитовой!) формой
g ij :
g
g ! C (такой формой обладают все редуктивные алгебры Ли). В силу невырожденности, форма
отождествляет g и g  , а значит, определен инвариантный тензор K = g ij 2
g
g.
Упражнение 4. Пусть fa i g и fa i g | двойственные базисы в g (то есть (a i ; a j ) = ф j
i ). Тогда K =
P
i a
i
a i
(в частности, это выражение не зависит от выбора базиса).
Определим действие
g
g на представлении % алгебры Ли g, полагая %(a
1
a 2 ) = %(a 1 ) ф%(a 2 ). Аналогично
можно определить и действие тензоров более высокого порядка.
Упражнение 5. Докажите, что действие группы и действие инвариантных тензоров коммутируют.
Определение 4. Элемент K 2
g
g называется элементом Каземира, оператор %(K) называется опера-
тором Каземира.
И так,
Предложение 5. Оператор Каземира на неприводимом представлении | скаляр.
Пусть теперь g = sl 2 .
Упражнение 6. Всякая инвариантная билинейная форма на sl 2 пропорциональна форме, заданной в
базисе e, h, f матрицей g ij =
0
@ 0 0 1
0 2 0
1 0 0
1
A .
Это упражнение можно сделать прямым вычислением, а можно воспользоваться простотой sl 2 и формой
Киллинга{Картана.
Чтобы найти элемент Каземира, просто обратим эту матрицу, получим g ij =
0
@ 0 0 1
0 1=2 0
1 0 0
1
A , то есть
K =
e
f +
f
e + 1
2
h
h.
Мы знаем, что на представлениях V  этот элемент действует константами, поэтому достаточно вычислить
его действие на старший вектор.
Предложение 6. Элемент Каземира действует на V  скаляром  2 =2 + .
Это дает еще один способ различать неприводимые представления sl 2 .