Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/top2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:51:08 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: annular solar eclipse

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТР
ГРУППА УЗЛА \ТРИЛИСТНИК"
Двумерным тором T 2 называется фактор R 2 по действию группы Z 2 (параллельными переносами на
векторы с целочисленными координатами). (p; q)-обмоткой тора называется образ при факторизации прямой
` p;q = f(x; y) 2 R 2 j px + qy = 0g.
Задача 1. Докажите, что если p=q 2 Q или равно 1, то (p; q)-обмотка гомеоморфна окружности, а если
p=q =
2 Q, то (p; q)-обмотка гомеоморфна прямой.
Тор T 2 можно стандартным образом вложить в трехмерное пространство (положить бублик на стол).
Трилистником называется узел (несамопересекающаяся гладкая замкнутая кривая) в R 3 , получающаяся
при этом вложении из (3; 2)-обмотки тора.
Задача 2. Нарисуйте проекцию трилистника на плоскость.
Задача 3. Докажите, что стандартно вложенный тор разбивает R 3 на две части, одна из которых гомео-
морфна S 1 D 2 , а вторая | S 1 D 2 с выкинутой точкой.
Указание (ко второму вопросу). Заклейте \дырку от бублика" пленкой (гомеоморфной D 2 ) и попытайтесь
разбить внешнюю часть полнотория на окружности так, чтобы через каждую точку пленки проходила бы
ровно одна окружность. Буквально так не получится, но : : :
Пусть  = f(z; w) 2 C 2 j jzj 2
+ jwj 2
= 2g | трехмерная сфера,  1
def
= f(z; w) 2  j jzj  jwjg и
 2
def
= f(z; w) 2  j jwj  jzjg.
Задача 4. Докажите, что  1 и  2 гомеоморфны полноториям, а их пересечение  1 \  2 | тору T 2 .
Задача 5. Докажите, что кривая p;q = f(z; w) 2 C 2 j z = e 2ipt ; w = e 2iqt g =  \ f(z; w) 2 C 2 j z q = w p g
лежит в торе  1 \  2 и представляет собой его (p; q) | обмотку.
Обозначим Cn топологическое пространство, элементами которого являются неупорядоченные наборы из
n попарно несовпадающих точек плоскости. Фундаментальная группа пространства Cn называется группой
кос из n нитей и обозначается Bn .
Задача 6. Убедитесь, что в группе B 3 выполня-
ется равенство x 1 x 2 x 1 = x 2 x 1 x 2 , где движения
точек на плоскости, соответствующие элементам
x 1 ; x 2 2 B 3 , изображенны на рисунке.
s s s
s s s
s s s
s s s
x 1 : x 2 :
?
t
0
1
Задача 7. Докажите, что группа Bn при n  3 некоммутативна.
Указание. Перенумеруйте точки и рассмотрите действие элементов группы кос на нумерации | получится
гомоморфизм Bn в группу перестановок из n элементов.
Задача 8. Докажите, что C 3 гомеоморфно пространству кубических многочленов вида x 3 +ux 2 +vx+w без
кратных корней и гомотопически эквивалентно подмножеству этого пространства, выделенному условием
u = 0 (мы будем обозначать это подмножество e
C 3 ).
Задача 9. Докажите, что e
C 3 гомеоморфно множеству f(a; b) 2 C 2 j a 3 6= b 2 g.
Задача 10. Докажите, что e
C 3 гомотопически эквивалентно множеству  n 3;2 (в обозначениях задачи 5).
Указание. Пару гомотопически обратных отображенгий составляют естественное вложение  ,! C 2 и
отображение C 2 n f(0; 0)g ! , заданное формулой (a; b) 7! (a 2 ; b 3 ), где  2 R>0 подбирается так, чтобы
образ действительно попал в сферу .
Задача 11. Докажите, используя результаты задач 3, 8, 9 и 10, что фундаментальная группа дополнения
к трилистнику (в сфере S 3 ) изоморфна группе кос из 3 нитей.
Задача 12. Докажите, используя результат задач 3, 4 и 5 (при p = 0; q = 1), что фундаментальная группа
дополнени к тривиальному узлу (в сфере S 3 ) изоморфна Z. Выведите отсюда и из результата задачи 7, что
трилистник не \развязывается" (в сфере S 3 , а, следовательно, и в пространстве R 3 ).
1