Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/top2_1.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:19:10 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Независимый Московский Университет
Топология, II курс, IV семестр, 26 марта 2001 г.
Контрольное домашнее задание
1. Опишите фундаментальную группу а) проективной плоскости RP 2 ; б)
бутылки Клейна K; в) произвольной неориентируемой замкнутой двумер-
ной поверхности.
2. Пусть C  R 3 | вложенная замкнутая ориентированная поверхность
рода g. Отображение Гаусса C ! S 2 сопоставляет точке поверхности
единичный вектор нормали в этой точке (из двух возможных направлений
нормали выбирается то, которое согласовано с выбранными ориентациями
C и R 3 ). Докажите, что степень отображения Гаусса не зависит от вложе-
ния; выразите эту степень через g.
В задачах 3 и 4 требуется определить инвариант Хопфа заданного отобра-
жения f : S 3 ! S 2 (т.е. кратность стандартной образующей для предста-
вленного отображением f элемента группы  3 (S 2 ; pt)  = Z).
3. Стандартное клеточное разбиение пространства CP 2 состоит из трех
клеток размерностей 0; 2; 4. Отображение f | отображение приклеивания
4-мерной клетки к 2-остову,
f : @D 4  = S 3 ! sk 2 CP 2 = CP 1  = S 2
:
4. Пусть K  S 3 | оснащенный узел, т.е. вложенная замкнутая
кривая вместе с заданным вдоль нее полем направлений, ортогональ-
ных кривой в каждой точке. Пусть U  K | замкнутая трубчатая
окрестность кривой K. Оснащение задает выделенный гомеоморфизм
U  = S 1  D 2 . Отображение f задается в U как композиция проекций
U = S 1 D 2 ! D 2 ! D 2
=@D 2  = S 2
;
а все дополнение к U отображает в отме-
ченную точку сферы S 2 . Требуется выра-
зить инвариант Хопфа построенного ото-
бражения S 3 ! S 2 через инварианты осна-
щенного узла. Например, чему он равен для
оснащения, изображенного на рисунке?
5. Докажите, что для клеточных пространств понятия связности и линей-
ной связности совпадают.
1