Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s01/notes/top4.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:51:19 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТР
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Задача 1. Проективной плоскостью RP 2 называется квадрат, стороны которого попарно отождествлены
так: ?
-
6

. Докажите, что проективная плоскость получается отождествлением по границе двумерного
диска и ленты Мебиуса (граница как диска, так и ленты Мебиуса гомеоморфна окружности).
Указание. Докажите, что окрестность границы квадрата на рисунке гомеоморфна ленте Мебиуса, а осталь-
ная часть | диску.
Задача 2. Докажите, что множество всех прямых на плоскости (не обязательно проходящих через начало
координат) гомеоморфно ленте Мебиуса без границы.
Задача 3. Бутылкой Клейна K называется квадрат, стороны которого отождествлены так:
-
?
-
6 . Дока-
жите, что бутылка Клейна гомеоморфна цилиндру, основания которого заклеены двумя лентами Мебиуса.
Задача 4. n-мерным проективным пространством RP n называется множество прямых, проходящих через
начало координат, в линейном пространстве R n+1 . Докажите, что RP n гомеоморфно сфере S n с попарно
отождествленными противоположными точками. Докажите, что RP 2 гомеоморфно пространству, обозна-
ченному тем же символом в задаче 1, и придумайте аналогичное описание пространства RP n .
Задача 5. Рассмотрим в R n+1 базис e 1 ; : : : ; e n+1 , и обозначим A k  RP n множество прямых, лежащих в ли-
нейном пространстве L k+1
def
= he 1 ; : : : ; e k+1 i, но не лежащих в L k . Докажите, что множество A k гомеоморфно
R k . Что представляет собой граница множества A k ?
Задача 6. n-мерным комплексным проективным пространством CP n называется множество комплексных
прямых, проходящих через начало координат, в линейном пространстве C n+1 . Докажите, что пространство
CP 1 гомеоморфно S 2 . Решите для комплексных проективных пространств аналог задачи 5.
Ручкой называется тор с дыркой. Сферой с g ручками называется результат приклеивания к сфере с g
дырками g ручек по границам дырок.
Задача 7. Докажите, что правильный восьмиугольник, стороны которого попарно отождествлены через
одну \без перекрутки" (т.е. отождествлены стороны с номерами 1 и 3, 2 и 4, 5 и 7, 6 и 8), гомеоморфен
сфере с 2 ручками.
Указание. Разрежьте восьмиугольник пополам по главной диагонали.
Задача 8. Докажите, что 4g-угольник, стороны которого попарно отождествлены через одну \без пере-
крутки", гомеоморфен сфере с g ручками.
Задача 9. Докажите, что правильный шестиугольник, противоположные стороны которого отождествлены
\без перекрутки", это сфера с 1 ручкой (т.е. тор).
Указание. Соедините две противоположные стороны шестиугольника полосой шириной 1.
Задача 10. Докажите, что сфера с g ручками и одной дыркой гомотопически эквивалентна букету из 2g
окружностей.
Задача 11. Докажите, что сфера S 2 с тремя дырками, заклеенными лентой Мебиуса, гомеоморфна тору
T 2 с одной дыркой, заклеенной лентой Мебиуса, и гомеоморфна проективной плоскости с 1 ручкой.
Задача 12. Докажите, что каждое линейное преобразование A 2 SO(3) имеет неподвижный вектор и пред-
ставляет собой поворот вокруг некоторой прямой в R 3 .
Задача 13. Сопоставим преобразованию A 2 SO(3) пару (ось вращения, угол поворота). Докажите (с
использованием ответа на последний вопрос задачи 4), что тем самым определен гомеоморфизм SO(3) !
RP 3 .
Задача 14. Докажите, что группа SO(3) гомеоморфна множеству правых ортонормированных базисов в
пространстве R 3 , а также множеству единичных касательных векторов к единичной сфере в R 3 .
Задача 15. Докажите, что пространство неупорядоченных наборов из n не обязательно различных ком-
плексных чисел гомеоморфно C n , а пространство неупорядоченных наборов из n не обязательно различных
точек CP 1 гомеоморфно CP n .
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТРКЛАССИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Задача 16. Обозначим G(4; 2) множество всех двумерных линейных подпространств в R 4 . Фиксируем в
R 4 некоторый базис e 1 ; : : : ; e 4 . Докажите, что следующие подмножества G(4; 2) гомеоморфны линейным
пространствам R k , и найдите в каждом случае соответствующее k: а) двумерные плоскости, не содержа-
щие прямой he 1 i, пересекающие плоскость he 1 ; e 2 i только в начале координат, и не лежащие в пространстве
he 1 ; e 2 ; e 3 i; б) двумерные плоскости, не лежащие в пространстве he 1 ; e 2 ; e 3 i, но пересекающие плоскость he 1 ; e 2 i
по прямой, отличной от he 1 i; в) двумерные плоскости, пересекающие плоскость he 1 ; e 2 i по прямой he 1 i, и не
лежащие в пространстве he 1 ; e 2 ; e 3 i; г) двумерные плоскости, лежащие в пространстве he 1 ; e 2 ; e 3 i и пересе-
кающие плоскость he 1 ; e 2 i по прямой, отличной от he 1 i; д) двумерные плоскости, лежащие в пространстве
he 1 ; e 2 ; e 3 i и пересекающие плоскость he 1 ; e 2 i по прямой he 1 i.
Задача 17. Как изменятся результаты задачи 16, если вместо G(4; 2) рассмотреть множество G+ (4; 2) всех
ориентированных двумерных линейных подпространств в R 4 ? Докажите, что G+ (4; 2) гомеоморфно S 2 S 2 .