Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s02/top2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:49 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:46:33 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Листок 2. Топологические пространства. Шарнирные механизмы (18 февраля)
Пусть A  R n | произвольное подмножество. Для произвольной точки x 2 R n величину d(x; A) =
inf
a2A
kx ak называют расстоянием от точки x до множества A.
1. а) Докажите, что функция f(x) = d(x; A) непрерывна для любого подмножества A  R n .
б) Докажите, что если множество A замкнуто, то функция f(x) = d(x; A) для всех x 62 A принимает
положительные значения.
Пусть A; B  R n | произвольные подмножества. Величину d(A; B) = inf
a2A; b2B
ka bk называют
расстоянием между множествами A и B.
2. Верно ли, что d(A; C) 6 d(A; B) + d(B; C)?
Подмножество K топологического пространства называют компактным, если из любого его покры-
тия можно выбрать конечное подпокрытие.
3. Пусть A  R n | замкнутое подмножество, C  R n | компактное подмножество. Докажите, что су-
ществует такая точка c 0 2 C, что d(A; C) = d(A; c 0 ), а если множество A тоже компактно, то существует
ещё и такая точка a 0 2 A, что d(A; C) = d(a 0 ; c 0 ).
4. Докажите, что любое замкнутое подмножество компактного пространства компактно.
5. Приведите пример связного, но не линейно связного пространства.
6. Введите ЂестественнуюЃ топологию на множестве матриц n m.
7. Связно ли пространство GL(n)?
8. а) Докажите, что пространство SO(3) связно.
б) Докажите, что пространство GL(3) состоит из двух связных компонент.
Топологическое пространство X называют хаусдорфовым, если для любых двух различных точек x; y 2
X найдутся непересекающиеся открытые множества, содержащие эти точки.
9. Приведите пример нехаусдорфова топологического пространства.
10. Докажите, что в хаусдорфовом пространстве X для любых двух различных точек x и y найдётся
окрестность U 3 x, замыкание которой не содержит y.
11. Пусть C | компактное подмножество хаусдорфова пространства X и x 2 X n C. Докажите, что у
точки x и у множества C есть непересекающиеся окрестности.
12. Докажите, что у любых двух непересекающихся компактных подмножеств A и B хаусдорфова про-
странства X есть непересекающиеся окрестности.
13. Пусть f : X ! Y | непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства X
на хаусдорфово пространство Y . Докажите, что f | гомеоморфизм.
* * *
14. Плоский шарнирный механизм состоит из двух одинаковых стержней, один конец каждого из ко-
торых закреплён в точке A, а второй конец свободный. Найдите конфигурационное пространство этой
системы, если стрежни: а) могут занимать одно и то же положение и проходить один над другим; б) не
могут.
Пусть hl 1 ; l 2 ; : : : ; l n 1 ; di | плоский шарнирый механизм, состоящий из n стержней, один из которых
неподвижен, а остальные стержни (вместе с неподвижным) образуют замкнутую ломаную; d | длина
неподвижного стержня, l 1 ; l 2 ; : : : ; l n 1 | длины подвижных стержней (по порядку).
15. Найдите конфигурационные пространства следующих шарнирных механизмов: а) h2; 2; 2; 7i; б) h1; 1; 1; 1i;
в) h2; 3; 2; 3i.
16. Найдите конфигурационное пространство для h1; 1; 1; 1; 3:9i.
17. Найдите конфигурационное пространство для h1; 1; : : : ; 1; n 0:1i.
18. Найдите конфигурационное пространство для h6; 2; 2; 6; 6i.
19. Найдите конфигурационное пространство для h2; 1; 1; 2; 2i.
1