Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s02/top8.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:49 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:48:33 2007 Кодировка: koi8-r

Листок 8. Кривые на плоскости (1 апреля)
Доказательство теоремы Уитни
1. Докажите, что с помощью регулярной гомотопии кривую можно заменить на кривую длины 1, для
которой выполнены следующие условия:
1) кривая имеет длину 1;
2) при t = 0 кривая проходит через начало координат;
3) при t = 0 кривая имеет вектор скорости (1; 0);
4) в каждой точке кривая имеет вектор скорости единичной длины.
Предположим, что 0 и 1 | гладкие замкнутые кривые, индексы Уитни которых равны N . Будем
также считать, что они уже приведены к виду, сформулированному в условии задачи 1.
2. Запишем векторы скоростей кривых 0 и 1 в виде v 0 (s) = e i'0 (s) и v 1 (s) = e i'1 (s) , где ' 0 (0) = ' 1 (0) =
0 и ' 0 (1) = ' 1 (1) = 2N . Положим ' t (s) = (1 t)' 0 (s) + t' 1 (s) и рассмотрим кривую ~
t с вектором
скорости v t (s) = e i' t (s) : ~ t (s) =
R s
0
e i' t () d . При t 6= 0; 1 кривая ~
t не обязательно замкнутая. Постройте
с помощью этой кривой замкнутую гладкую кривую, для которой вектор скорости отличен от нуля в
каждой точке.
Указание. Рассмотрите кривую t (s) = ~ t (s) s~ t (1) =
R s
0
e i' t () d s
R 1
0
e i' t () d .
3. Докажите теорему Уитни на сфере.
* * * * * * * * * * * * * * *
Пусть : S 1 ! R 2 | гладкая замкнутая кривая с конечным числом точек самопересечения, причем
все её точки самопересечения двукратные. Выберем на кривой точку x 0 , не являющуюся точкой са-
мопересечения. Для точки самопересечения x i с номером i определим число W i по следующему правилу.
Будем идти из точки x 0 вдоль кривой в направлении, согласованном с её ориентацией. Когда мы будем
первый раз проходить через точку x i , нарисуем касательный вектор v 1 , соответствующий направлению
движения; когда мы будем проходить через эту точку второй раз, нарисуем второй касательный вектор
v 2 . Если репер (v 1 ; v 2 ) ориентирован отрицательно, то W i = 1, а если этот репер ориентирован положи-
тельно, то W i = 1. Числом Уитни называют число W ( ; x 0 ) =
P
W i , где суммирование ведётся по всем
точкам самопересечения кривой .
4. Докажите, что если w( ) | индекс Уитни кривой , а W ( ; x 0 ) | число Уитни, то w( ) = W ( ; x 0 )1.
Пусть | замкнутая дифференцируемая кривая на плоскости R 2 , состоящая из конечного числа
выпуклых дуг, не касающихся друг друга во внутренних точках. Тогда кривая имеет конечное число
D( ) точек самопересечения и конечное число F ( ) точек перегиба. Мы будем предполагать, что точки
самопересечения кривой двойные, т.е. у кривой нет точек, через которые проходит более двух ветвей
кривой. Мы будем также предполагать, что у кривой нет тройных касательных, т.е. любая прямая
касается кривой не более чем в двух различных точках. Двойные касательные бывают двух типов:
внутренние и внешние. Пусть I( ) | количество внутренних двойных касательных, II( ) | количество
внешних двойных касательных.
5. Докажите, что II( ) I( ) = D( ) + F ( )
2
.
1