Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/homalg1.ps Дата изменения: Tue Feb 11 19:33:48 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:53:22 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Основы гомологической алгебры, занятие 1.
11 февраля 2003 года.
Комплексом модулей над кольцом A называется последовательность A-модулей F i ;
i 2 Zи гомоморфизмов d i : F i ! F i+1 ; для которых d i ф d i 1 = 0: Чтобы не возиться с
индексами, часто рассматривают (считая A состоящим из элементов степени 0) граду-
ированный A-модуль F =
L
i F i с однородным эндоморфизмом d = diag(d i ) степени 1;
для которого d 2 (в смысле d ф d) равно 0: Также положим F i := F i ; чтобы можно было
пользоваться как верхними возрастающими, так и нижними убывающими индексами.
Часто рассматриваются комплексы, у которых F i = 0 для i  0 или i  0:
Примеры:
1) Цепной комплекс ориентированного симплициального комплекса в топологии (от-
сюда название ЂкомплексЃ).
2) Комплекс де Рама (поэтому d называется дифференциалом).
3) Пусть M | A-модуль. Рассмотрим его как градуированный A-модуль, сосредото-
ченный в степени 0, и положим d = 0: Таким образом, модули являются частными
случаями комплексов.
4) Комплекс Козюля: пусть кольцо A коммутативно, M = A n | конечно порождённый
(далее | КП) свободный A-модуль,
V M | его внешняя алгебра, а m 2 M: Тогда
V
M | это градуированный A-модуль, а внешнее умножение на m | его одно-
родный эндоморфизм степени 1 с нулевым квадратом, так что у нас есть комплекс
K(m):
5) Свободные резольвенты:
а) A = k[x]; F i = A при i = 0; 1; F i = 0 иначе, d 1 | умножение на x;
б) A = k[x]=(x 2 ), F i = A при i > 0; F i = 0 иначе, дифференциалы | умножение
на x;
в) A = k[x; y; z]; F | комплекс Козюля для m = (x; y; z) 2 M = A 3 :
6) Стандартная резольвента. Пусть A | алгебра над полем |: Положим B i равным
тензорному произведению над |i + 2 экземпляров A при i > 0; B i = 0 иначе.
d i (x
0





x i+1 ) =
i
X
k=0
( 1) k x
0





x k x
k+1





x i+1 :
1. Проверьте, что стандартная резольвента является комплексом.
Гомологиями комплекса (F; d) называются однородные компоненты H i (F ) градуиро-
ванного A-модуля H(F ) = Kerd=Im d (или весь этот модуль). (Однородные) элементы
модулей Ker d и Imd называются циклами и границами соответственно. Если гомоло-
гии комплекса H i (F ) равны нулю, то он (или последовательность модулей) называется
точным(-ой) (в i-м члене, если это верно лишь для конкретного i).
2. Найдите гомологии комплексов в примере 5.
1

Морфизмом комплексов ' : (F; d F ) ! (G; dG ) называется однородный гомоморфизм
модулей ' : F ! G степени 0, для которого 'd F = dG ':
3. Покажите, что морфизм комплексов индуцирует морфизм их гомологий.
4. Пусть ' : M ! N | морфизм свободных A-модулей, A коммутативно. Покажите, что
он индуцирует морфизм комплексов Козюля K(m) ! K('(m)):
Морфизм комплексов ' : (F; d F ) ! (G; dG ) называется гомотопным нулю, если су-
ществует такой однородный гомоморфизм A-модулей h : F ! G степени 1; что ' =
dGh+hd F : Два морфизма комплексов называются гомотопными, если их разность гомо-
топна нулю.
5. Рассмотрим комплекс Козюля, построенный по модулю M и элементу m: Покажите,
что если элемент a 2 A принадлежит идеалу, порождённому компонентами m; то умно-
жение на a | гомотопный нулю морфизм комплекса Козюля (хотя бы для примера 5).
6. Покажите, что гомотопные морфизмы комплексов индуцируют одно и то же отобра-
жение в гомологиях.
7. Найдите гомологии комплекса Козюля, когда A | поле.
8. При помощи гомотопии, связанной с h i : B i ! B i+1 ; h i (x
0





x n+1 ) =
(1
x
0





x n+1 ); найдите гомологии стандартной резольвенты (может быть полезно приписать к
ней аналогичный член B 1 ).
Последовательность комплексов и морфизмов 0 ! F 0 
! F 
! F 00 ! 0 называет-
ся (короткой) точной (последовательностью), если она точна как последовательность
градуированных модулей. По такой последовательности строится связывающий гомо-
морфизм ф : H(F 00 ) ! H(F 0 ) степени 1: если a 00 2 Ker d F 00
| однородный, a 00 | образ a в
H(F 00 ); то возьмём у a 00 какой-то однородный прообраз a 2 F: Тогда (d F a) = d F 00 a 00 = 0;
так что по точности d F (a) = (b 0 ) для некоторого b 0 2 F 0 : Тогда (d F 0
(b 0 )) = d 2
F (a) = 0;
и так как  | вложение, то d F 0 (b 0 ) = 0; так что b 0 2 Ker d: Положим ф(a 00 ) := b 0 2 H(F 0 ):
9. Покажите, что ф корректно определён и является гомоморфизмом модулей.
10. Покажите, что получающаяся последовательность градуированных A-модулей
H(F 0 ) 
!H(F ) 
!H(F 00 ) ф
!H(F 0 ) 
!H(F )
точна.
11. Лемма о змее: если
0 ! A ! B ! C ! 0

? ? y 
? ? y
? ? y
0 ! A 0 ! B 0 ! C 0 ! 0
| коммутативная диаграмма модулей с точными строками, то последовательность
0 ! Ker  ! Ker  ! Ker ! Coker  ! Coker  ! Coker ! 0
точна.
2

12. 5-лемма: пусть
A 1 ! A 2 ! A 3 ! A 4 ! A 5
f 1
? ? y f 2
? ? y f 3
? ? y f 4
? ? y f 5
? ? y
B 1 ! B 2 ! B 3 ! B 4 ! B 5
| коммутативная диаграмма модулей с точными строками.
а) Покажите, что если f 2 и f 4 инъективны, а f 1 сюръективен, то f 3 инъективен.
б) Покажите, что если f 2 и f 4 сюръективны, а f 5 инъективен, то f 3 сюръективен.
Сдвигом на n комплекса F называется комплекс F [n] с F [n] i = F i+n ; d F [n] = ( 1) n d F :
13. Комплекс Hom'ов. Пусть F и G | комплексы. Тогда Hom(F;G) | это следующий
комплекс абелевых групп: Hom(F;G) i | это множество однородных гомоморфизмов сте-
пени i из градуированного A-модуля F в G; и d i
Hom(F;G) (') = dG ф' ( 1) i 'фd F : Покажите,
что это комплекс. Что представляют собой его циклы, границы и гомологии?
14. Пусть A коммутативно, M | КП свободный A-модуль, m 2 M; N = M  Ae |
свободный модуль ранга на 1 выше и n = m + ae; a 2 A: Покажите, что сюръекция
N  M порождает точную последовательность комплексов 0 ! K(m)[ 1] ! K(n) !
K(m) ! 0; и опишите соответствующий связывающий гомоморфизм.
3