Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/top1ex6.ps Дата изменения: Mon Mar 31 16:33:42 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:58:10 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 2 СЕМЕСТР
ФОРМУЛА РИМАНА{ГУРВИЦА
Задача 1. Пусть A(z) = z n
,
= fz 2 C j jzj = 1g. Докажите, что отображение A
:
!
определяет
связное n-листное накрытие.
Задача 2. Пусть A : C ! C | многочлен степени
n,
" = fz 2 C j jzj < "g, и " = A
1(
" ). Докажите, что
при достаточно малом " отображение A : "
!
" определяет n-листное накрытие. Опишите ограничение
этого накрытия на компоненты связности множества " .
Обозначим A : C ! C многочлен степени n, и предположим в дальнейшем, что он не имеет кратных
корней. Пусть MA = f(z; w) 2 C 2 j w 2 = A(z); z
2
R g,
где
R = fz 2 C j jzj  Rg, а h : MA ! C |
отображение, заданное формулой h(z; w) = z.
Задача 3. Докажите, что ограничение отображения h на прообраз окружности !R = fz 2 C j jzj = Rg
при достаточно большом R является двулистным накрытием, тривиальным при четном n и нетривиальным
(связным) при нечетном n.
Задача 4. Докажите, что множество MA при достаточно большом R гомеоморфно линейно связной ориен-
тируемой поверхности, край которой описан в задаче 3.
Задача 5. Обозначим z 1 ; : : : ; z n корни многочлена A, и
пусть
i = fz 2 C j jz z i j < "g, = f(z; w) 2
M a j z =
2
1 ; : : : ; z =
2
n g. Докажите, что отображение h :
!
R n S
i
i является связным двулистным
накрытием.
Задача 6. Вычислите эйлерову характеристику поверхности . Вычислите эйлерову характеристику и род
(число g ручек) поверхности MA .
Задача 7. Решите задачи 4, 5 и 6 для множества MP;Q = f(z; w) 2 C j P (w) = Q(z)g, где P; Q| многочлены,
не имеющие общих критических значений (критическим значением многочлена называется его значение в
точке, где его производная равна нулю).
1