Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/top1l6.ps Дата изменения: Sat Mar 22 12:54:36 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:44:51 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 6. ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА ПОВЕРХНОСТИ
Теорема 1 (Эйлера). Пусть G | связный граф, вложенный в поверхность
. Тогда величина () = v e + f не зависит от выбора графа G и его
вложения в поверхность , а зависит только от самой поверхности.
Число () называется эйлеровой характеристикой поверхности . Для
доказательства теоремы нам потребуются несколько технических фактов, до-
казывать которые мы не будем:
Лемма 1 (о неразбиении). Пусть множество I  S 2 гомеоморфно отрезку.
Тогда дополнение S 2 n I гомеоморфно кругу.
Следствие 1.1.
Пусть
| круг, I

гомеоморфно отрезку, и хотя бы
одмн из концов множества I лежит внутри круга. Тогда
дополнение
n I
линейно связно; если на границе лежит ровно одна вершина,
то
n I гомео-
морфно кругу.
Следствие 1.2. Открытое множество в R 2 не может быть гомеоморфно
замкнутой полуплоскости. В частности, внутренняя точка двумерного мно-
гообразия не может быть одновременно точкой края.
(последний факт, конечно, верен для многообразий произвольной размерно-
сти, но мы его не доказываем).
Доказательство. Пусть U  R 2 открыто и гомеоморфно замкнутой полуплос-
кости . Пусть a 2 @, и b 2 U | образ a при гомеоморфизме.
Пусть
3 b |
круг, переходящий при гомеоморфизме в множество 3 a. Существует кри-
вая, гомеоморфная отрезку и делящая на две части, а
в
ее не существует
согласно лемме.
Следствие 1.3. Если граф вложен в поверхность с краем, то все точки края
принадлежат графу.
Лемма 2 (Жордана). Пусть множество I  S 2 гомеоморфно окружности.
Тогда дополнение S 2 n I состоит из двух компонент линейной связности,
каждая из которых гомеоморфна открытому кругу, а ее объединение с I |
замкнутому кругу.
Следствие 2.1.
Пусть
| круг, I

гомеоморфно отрезку, и оба конца
множества I лежат на границе круга. Тогда
дополнение
n I состоит из
двух компонент связности, F 1 и F 2 . Каждое из множеств F 1 и F 2 гомео-
морфно замкнутой полуплоскости, а объединения F 1 [I и F 2 [I | замкнутым
кругам.
Лемма 3 (о шевелении).
Пусть
| круг, множество T

конечно, а
S

и

гомеоморфны отрезкам. Тогда произвольно малым шеве-
лением можно перевести в множество e , не пересекающее множество T
и пересекающее множество S в конечном числе точек.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 6. ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА ПОВЕРХНОСТИ
Доказательство теоремы 1. Мы проведем его в несколько этапов. Циклом
в графе называется замкнутый путь, проходящий по его ребрам, причем ни
по какому ребру не проходящий дважды. Граф называется деревом, если он
связный и не имеет циклов.
Этап 1:  = S 2 , а G | дерево. Нетрудно видеть (индукция по числу
вершин), что для дерева v = e + 1. Докажем индукцией по e, что если G  S 2
гомеоморфно дереву, то дополнение S 2 nG гомеоморфно кругу, и в частности
связно.
При e = 0 утверждение очевидно; пусть e > 0. Вершина дерева называется
висячей, если из нее выходит только одно ребро; нетрудно видеть, что во
всяком дереве с e > 0 имеется по крайней мере 2 висячие вершины. Возьмем
одну из них и сотрем, вместе с выходящим из нее ребром; при этом оставшийся
граф G 0 , очевидно, является деревом. По предположению индукции, S 2 n G 0
гомеоморфно кругу. Стертое ребро гомеоморфно отрезку, и его конец лежит
на границе S 2 nG 0 . Согласно следствию 1.1, S 2 nG 0 также гомеоморфно кругу.
Следовательно, f = 1, и v e + f = 2 не зависит от графа G и его вложения.
Этап 2:  = S 2 , G | произвольный граф; докажем теорему индукцией по
e. Если в графе имеется висячая вершина, то сотрем ее вместе с входящим
в нее ребром. Рассуждая как этапе 1, покажем, что полученный граф G 0 |
вложенный, причем v 0 = v 1, e = e 0 1 и f 0 = f . По предположению индукции
v 0 e 0 + f 0 = 2, откуда v e + f = 2.
Пусть в графе G нет висячих вершин. Тогда он содержит цикл; сотрем
произвольное ребро E i
, входящее в этот цикл. Нетрудно видеть, что получен-
ный граф G 0 | связный. Согласно следствию 2.1, ребро E i
лежит на границе
ровно двух граней. Отсюда следует, что граф G 0 вложен, и v 0 = v, e 0 = e 1,
f 0 = f 1. По предположению индукции, v 0 e 0 + f 0 = 2, откуда v e + f = 2.
Таким образом, теорема доказана в случае  = S 2 , причем (S 2 ) = 2.
Этап 3:  | круг, в который вложен граф G. Согласно следствию 1.3,
граница круга принадлежит графу. Приклеим к  по границе еще один круг;
получится сфера, причем граф G вложен в эту сферу. При этой операции число
f увеличивается на единицу, а v и e не изменяются. Значит, для исходного
графа v e + f = 1, и теорема доказана для круга, причем его эйлерова
характеристика равна 1.
Этап 4: пусть  | произвольная поверхность. Рассмотрим на ней два
вложенных графа, G 1 и G 2 , и докажем, что v 1 e 1 + f 1 = v 2 e 2 + f 2 . Со-
гласно лемме о шевелении, можно считать, что ребра графов пересекаются
в конечном числе точек, причем ребра одного графа не проходят через вер-
шины другого (в частности, вершины графов попарно различны). Добавим
к графам G 1 и G 2 новые вершины в точках пересечения их ребер; заметим,
что числа v 1 e 1 + f 1 и v 2 e 2 + f 2 при этом не изменятся. Рассмотрим граф
G, полученный объединением всех вершин и ребер графов G 1 и G 2 . Из след-
ствия 2.1 вытекает, что граф G вложенный; пусть в нем v вершин, e ребер и
f граней.
Пусть F i
| грань графа G 1 , а F i
| ее замыкание. Тогда на F i
возникает
вложенный граф i
, составленный из вершин и ребер графа G, попавших в F i
.
Пусть на границе @F i
находится p вершин (и, соответственно, p ребер) графа
i
, а внутри | v i
вершин, e i
ребер и f i
граней. Согласно результату этапа 3,
(p + v i
) (p + e i
) + f i
= 1, т.е. f i
1 = e i v i
. Удалим из G все вершины и
ребра, лежащие внутри граней; тогда число f уменьшится на f i
1, число v

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУТОПОЛОГИЯ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 6. ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА ПОВЕРХНОСТИ3
на v i
, а число e на e i
, а число v e + f уменьшится на v i e i
+ (f i
1) = 0, т.е.
не изменится. Таким образом, мы \очистим" все грани графа G 1 , и получим,
что v e + f = v 1 e 1 +f 1 . Но то же самое рассуждение применимо и к графу
G 2 | следовательно, v 2 e 2 + f 2 = v e + f = v 1 e 1 + f 1 .
Теорема 2. Пусть  1 и  2 | поверхности с краем, а поверхность  по-
лучена их склеиванием по какой-нибудь компоненте связности края. Тогда
() = ( 1 ) + ( 2 ).
Доказательство. Рассмотрим на поверхности  граф G, полученный объеди-
нением графов G 1 и G 2 , вложенных в  1 и  2 ; при этом без ограничения общ-
ности можно считать, что вершины и ребра графов G 1 и G 2 на \склеенной"
границе | общие.
Пусть на общей границе лежит p вершин графа G и, следовательно, p ребер.
Тогда () = v e + f = v 1 + v 2 p e 1 e 2 + p + f 1 + f 2 = ( 1 ) + ( 2 ).
Следствие 1. Пусть поверхность  получена из поверхности  0 вырезанием
дырки. Тогда () = ( 0 ) 1. В частности, эйлерова характеристика
сферы с n дырками равна 2 n.
Доказательство. Дырка представляет собой круг, эйлерова характеристика
которого равна 1.
Следствие 2. Эйлерова характеристика сферы с n дырками и g ручками,
равна 2 2g n. Эйлерова характеристика сферы с n дырками и g лентами
Мебиуса равна 2 n g.
Доказательство. Как следует из примера 3 предыдущей лекции, (T 2 ) = 0.
Из следствия 1 получаем, что эйлерова характеристика ручки (тора с дыркой)
равна 1. Эйлерова характеристика ленты Мебиуса равна 0, согласно примеру
5 предыдущей лекции.
Теорема 3. Пусть p :  1 !  2 | n-листное накрытие. Тогда ( 1 ) =
n( 2 ).
Доказательство. Вложим в поверхность  2 граф G с v вершинами и e ре-
брами, и рассмотрим его прообраз G 0   1 при отображении p. Очевидно,
G 0 | граф с nv вершинами. Ограничение отображения p на прообраз произ-
вольного ребра  (без концов) представляет собою n-листное накрытие над .
Поскольку  1 () = 0 ( гомеоморфно интервалу, т.е. стягиваемо), это накры-
тие тривиально. Поэтому прообраз каждого ребра состоит из n различных
ребер, и общее число ребер графа G 0 равно ne. Аналогично, прообраз каждой
грани, на которые G разбивает  2 , гомеоморфен несвязному объединению n
кругов. Граф G 0 вложен в поверхность  1 , поскольку все грани гомеоморфны
кругам. Граница круга линейно связна, откуда следует, что и граф G 0 связен.
Число граней равно nf , где f | число граней на поверхности  2 . Отсюда
( 1 ) = nv ne + nf = n( 2 ).
Пример . Граф примера 6 предыдущей лекции невозможно вложить в сферу.
Действительно, здесь v = 6, e = 9, откуда, если вложение возможно, f = 5. С
другой стороны, граница каждой грани содержит не менее 4 ребер, а каждое
ребро лежит на границе не более 2 граней. Отсюда следует неравенство e  2f
| противоречие.