Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s04/Lie3.ps Дата изменения: Tue Mar 16 17:43:28 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:43:48 2007 Кодировка: koi8-r

Алгебры Ли | 2 Семинар 3
f h
g
j
i
k e
Алгебра октав (чисел Кэли) O определяется как (не-
ассоциативная) алгебра, базис в которой составляют 1
и ещё семь элементов e; f; g; h; i; j; k, квадрат каждого
из которых равен 1, а попарные произведения пока-
заны на рисунке (произведение двух элементов равно
третьему на той же прямой/окружности, с точностью
до знака, а знак определяется ориентацией стрелок;
так, eh = k, fj = h).
В алгебре O можно обнаружить подалгебру кватернионов H, поскольку i; j; k
умножаются, как и положено кватернионам. Более того, поскольку f = ie, g = je,
h = ke, то алгебру октав можно рассматривать как двумерное пространство над
кватернионами, O = fa + be j a; b 2 Hg.
1. Выпишите правила умножения (a; b 2 H): ab = ab + 0
e, a(be) = 0 + : : : e,
(ae)b = 0 + : : : e, (ae)(be) = : : : + 0
e.
2. Проверьте, что дифференцирования произвольной алгебры A (линейные
преобразования, для которых выполнено правило Лейбница) образуют алгебру
Ли относительно коммутатора. Эта алгебра Ли обозначается Der A.
3. Вычислите Der(Mat(n; C )).
4. Докажите, что Der H ' so 3 .
5. Опишите алгебру Ли Der O: найдите её размерность, базис, весовое разло-
жение. Проверьте, что её система корней есть система G 2 .
По аналогии с комплексными числами и кватернионами определим на окта-
вах операцию сопряжения z 7! z, которая сохраняет единицу и меняет знак
у остальных элементов базиса. Положим Re z = (z + z)=2, Im z = (z z)=2,
(z 1 ; z 2 ) = Re(z 1 z 2 ).
Для элемента a 2 O пусть L a и R a | операторы левого и правого умножения
на a, T a = L a + R a .
6. Проверьте, что алгебра Ли, порождённая операторами L a с Re a = 0:
(а) содержится в алгебре Ли so 8 всех кососимметричных относительно фор-
мы (
;
) линейных преобразований алгебры O;
(б) совпадает с этой алгеброй.
Обозначим через LR (внешний) автоморфизм алгебры so 8 , при котором L a
переходит в R a . (Проверьте, что такой автоморфизм корректно определён!) Ана-
логично определим автоморфизм LT .
(в) Докажите инфинитезимальный принцип тройственности Фрейденталя:
для любой тройки кососимметричных линейных операторов на алгебре октав с
тождеством
Ax
y + x
By = C(xy)
верно, что B = LR(A), C = LT (A).
7. Проверьте, что алгебра g 2 есть подалгебра в so 8 , состоящая из инвариан-
тов автоморфизмов LR и LT .

Алгебры Ли | 2 Семинар 3 1/2
Алгебра октав является нетривиальным примером композиционной алгебры,
т. е. евклидова пространства A с операцией (умножения)
A
A ! A, для которой
(ab; ab) = (a; a)(b; b):
1. Проверьте это утверждение.
Теорема Гурвица. Все композиционные алгебры над R суть R, C , H, O.
Этот листок содержит (сравнительно подробный) план доказательства тео-
ремы Гурвица.
Пусть A | композиционная алгебра. Далее строчные латинские буквы обо-
значают её элементы.
2. (а) Проверьте, что (ax; by) + (bx; ay) = 2(a; b)(x; y).
(б) Определим сопряжение z 7! z как линейный оператор, который сохра-
няет единицу и умножает на 1 её ортогональное дополнение. Докажите, что
(ax; y) = (x; ay) и что xy = yx.
(в) Докажите, что b(ax) + a(bx) = 2(a; b)x.
(г) Докажите, что в композиционной алгебре условие ассоциативности
выполнено для любых трёх линейно зависимых элементов, и что ассоциатор
fa; b; cg = (ab)c a(bc) является кососимметричным по своим аргументам (т. е.
алгебра альтернативна).
(д) Проверьте, что выполнено тождество
L a x
y + x
R a y = T a (xy):
3. (а) Докажите, что если в композиционной алгебре выбран ортонормиро-
ванный базис e 0 = 1; e 1 ; : : : ; e n , то его элементы (кроме единицы) антикоммути-
руют и в квадрате равны 1, а при попарно различных положительных p; q; r; s
из равенства e p e q = e r e s следует равенство e p e s = e q e r .
(б) Докажите, что можно выбрать ортонормированный базис так, что про-
изведение любых двух базисных элементов | базисный элемент (с точностью до
знака).
(в) Придумайте, как по таблице умножения в композиционной алгебре по-
строить Ђпроективную геометриюЃ на множестве базисных элементов (т. е. ска-
зать, какие ЂточкиЃ лежат на одной ЂпрямойЃ так, чтобы выполнялись обычные
свойства), и докажите, что все точки в этой проективной геометрии лежат в од-
ной плоскости. (Плоскостью, проходящей через две данные прямые ` 1 ; ` 2 , назы-
вается множество точек всех прямых, которые пересекают ` 1 и ` 2 (в различных
точках).)
(г) Докажите теорему Гурвица.