Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s04/games4.ps Дата изменения: Wed Jun 9 19:11:00 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:49:45 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Теоремы Какутани и Брауэра
Теорема Какутани, лежащая в основе теоремы Нэша, одновременно обслуживает
множество фундаментальных теорем о существовании равновесий в математической
экономике. Сюда относятся теорема о существовании равновесия в экономике обмена,
существование правильно понятой концепции равновесия в кооперативной игре, и мно-
гие другие факты. Напомним её.
Теорема Какутани. Пусть X  R M | выпуклый компакт, лежащий в конечно-
мерном пространстве, а F : X  X | многозначное отображение, полунепрерывное
сверху и выпукло-компактно-значное (то есть, 8x 2 X F (x)  X | выпуклый компакт.
Тогда существует неподвижная точка отображения F , то есть такая точка x  2 X , что
x  2 F (x  ).
Доказательство этой теоремы состоит в сведении её к теореме Брауэра:
Теорема Брауэра. Пусть X  R M | выпуклый компакт, лежащий в конечномерном
пространстве, а f : X ! X | непрерывное отображение. Тогда существует неподвиж-
ная точка отображения f , то есть такая точка x  2 X , что x  = f(x  ).
Теорема Брауэра сама по себе представляет огромный практический и теорети-
ческий интерес, обеспечивая существование решений у различного рода систем урав-
нений. Существует множество (десятки, сотни....) доказательств теоремы Брауэра.
Я приведу наиболее, на мой взгляд, краткое (за остальными отсылаю читателей к ....).
Прежде всего заметим, что неважно, какой именно выпуклый компакт имеется в виду |
все они гомеоморфны между собой. Пусть же это будет шар.
Рассуждаем от противного: пусть неподвижной точки нет. Тогда строим новое
отображение g : X ! X нашего шара в себя, сопоставляя точке x 2 X точку пересече-
ния луча [f(x); x !) с границей шара. Это отображение является ретракцией, то есть,
постоянно на границе, а всю внутренность шара размазывает по границе.
Упражнение. Отображение g | непрерывная ретракция.
Кто в детстве страдал ерундойй с мыльными плёнками, тот уже понимает, что
никакой непрерывной ретракции шара на границу быть не может. Для остальных же
завершу доказательство следующим образом.
Распишем g покоординатно: g = (g 1 ; : : : ; g M ). Теперь образуем (M 1)-форму ! =
g 1 ^dg 2 ^


^dg M . Так как на границе шара отображение постоянно, то при ограничении
на T (@X) эта форма тождественно совпадёт с формой  = x 1 ^ dx 2 ^


^ dxM .
Заметим теперь, что d является формой объёма. Применим формулу Стокса:
R
X
d =
R
@X
, верную для любой M 1-формы . Получим:
V ol(X) =
Z
X
d =
Z
@X
 =
Z
@X
! =
Z
X
d! = 0; (1)
так как d! = dg 1 ^


^ dg M  0 на X (в силу падения ранга на единицу). Получили,
что объём шара равен нулю | противоречие.
Тонкий глаз заметит недочёт: беря дифференциалы, мы полагаем функции глад-
кими. Впрочем, с помощью теоремы Веерштрасса о равномерном приближении непре-
рывных функций несложно залатать этот пробел (сами латайте).
Перейдём теперь собственно к теореме Какутани. Идея её доказательства состоит
в том, чтобы ЂвписатьЃ в график многозначного отображения всё более тонкие одно-
1

значные приближения. Точнее, надо построить кусочно-линейную серию приближений
к графику отображения F .
Для осуществления этой затеи введём в рассмотрение разбиение единицы. Это та-
кой набор вещественнозначных неотрицательных функций на X , сумма которых то-
ждественно равна единице, | эдакая ЂплавающаяЃ линейная комбинация, меняющаяся
от точки к точке. Если функций L, то можно трактовать разбиение единицы как непре-
рывное отображение  : X ! ф L нашего выпуклого компакта в L 1-мерный симплекс
всех вероятностных распределений на L точках.
Идея заключается в том, чтобы покрыть X сколь угодно густой конечной -сетью
x 1 ; : : : ; xL (L растёт с ростом ), и создать разбиение единицы, приуроченное к этой
сети:
 i (x) = maxf jx x i j; 0g; i = 1; : : : ; L: (2)
Заметим, что действие функции  i не распространяется далее -окрестности x i (supp' i 
O  (x i )). На самом деле, это ещё не разбиение единицы; чтобы получить разбиение, надо
пронормировать эти функции, поделив каждую на их сумму (она всюду положительна,
по определению -сети). Считаем, что мы это уже сделали.
Теперь строим наше аппроксимирующее отображение f  : X ! X следующим обра-
зом. Выберем по одной точке y i 2 F (x i ), и определяем
f  (x) =
L
X
i=1
 i (x)y i : (3)
Будучи непрерывной, f  имеет неподвижную точку x 
 .
Теперь, беря предельную точку у последовательности x 
1=l
, обозначаем её за x  , и
доказываем, что она и есть неподвижная точка многозначного отображения F .
Упражнение. Доведите доказательство теоремы Какутани до конца. (Указание:
это не совсем тривиально, если не получится | не огорчайтесь!)
2