Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s04/varbunexam.ps Дата изменения: Sun May 16 15:42:00 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 16:34:35 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
ЭКЗАМЕН 16 МАЯ 2004 Г.
Пожалуйста, соблюдайте следующие правила оформления работы:
(1) Работа должна иметь титульный лист, на котором написана фамилия, имя и отчество сдающего
экзамен, И БОЛЕЕ НИЧЕГО НЕ НАПИСАНО.
(2) Решение каждой задачи или пункта, в котором требуется ответ, должно начинаться со слова
\Ответ", за которым следует ответ. Это правило нужно соблюдать, даже если в тексте ре-
шения ответ и так встречается.
Задача 1. X | векторное поле на многообразии M ,  | 1-форма на нем, f; g : M ! R| гладкие функции,
причем g нигде не обращается в нуль. Докажите формулу h; [fX; gX]i = h; Xihg 2 d f
g


; Xi.
Задача 2. Шарнирный механизм состоит из стержней AB, BC, CD и DE. Точки A и E закреплены, а
остальные точки могут свободно двигаться по плоскости. Длина каждого стержня равна 1 (и не меняется
при движении | стержень жесткий), а расстояние между точками A и E равно 3. Введите структуру
гладкого многообразия (то есть опишите карты, координаты и отображения перехода) в пространстве
возможных положений механизма.
Задача 3. На многообразии R 2 n f(0; 0)g действует группа G, состоящая из всех поворотов вокруг начала
координат, всех растяжений-сжатий к началу координат, и их композиций. 1-форма  называется инвари-
антной относительно группы G, если g   =  для всех g 2 G. Найдите размерность а) пространства 1-форм,
инвариантных относительно G, б) пространства замкнутых 1-форм, инвариантных относительно G.
Задача 4. Элементами пространства E являются всевозможные пары (`; v), где `  R 3 | прямая, прохо-
дящая через начало координат, а v | вектор в R 3 , перпендикулярный прямой `. Отображение p : E ! RP 2
действует по правилу p(`; v) = `. а) Докажите, что тройка (E; RP 2 ; p) представляет собой гладкое векторное
расслоение ранга 2. б) Задайте в этом отображении карты и функции перехода. в) Ориентируемо ли это
расслоение ?
Задача 5. Многообразие M состоит из всевозможных упорядоченных троек (A 1 ; A 2 ; A 3 ) попарно различных
точек на окружности S 1 . Приведите пример замкнутой, но не точной 1-формы на M .
1