Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s04/varbunsem1.ps Дата изменения: Sun Mar 28 15:08:15 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 16:34:58 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ
В задачах 1{9 опишите структуру многообразия (с краем или без края) на соответствующих множествах.
Нужно, чтобы построенная структура задавала на множестве естественную топологию. Если приведена
пара (множество, подмножество), то требуется выяснить, является ли подмножество подмногообразием.
Задача 1. S n 1  S n . Сфера S n это стандартная единичная сфера в R n+1 с центром в начале координат,
а S n 1 есть пересечение S n c n-мерным линейным подпространством в R n+1 .
Задача 2. RP n (рассматриваемое как множество прямых в R n+1 , проходящих через начало координат).
Указание. Каждой точке a 2 RP n соответствует система однородных координат [a 0 :


: an ]).
Задача 3. Лента Мебиуса, заданная как результат отождествления в прямоугольнике [0; 1]  [0; 1] точек по
такому правилу: (0; t)  (1; 1 t) 8t 2 [0; 1].
Задача 4. Множество всех прямых на плоскости (не обязательно проходящих через начало координат).
Докажите, что это многообразие диффеоморфно ленте Мебиуса, из которой удалили край.
Задача 5. CP n .
Задача 6. Сфера с g ручками. Это результат склеивания (без перекрутки) сторон правильного 4g-угольника,
где сторона номер 4k склеивается со стороной номер 4k + 2, а 4k + 1 с 4k + 3, для всех k = 1; : : : ; g. Что
будет, если склеивать с перекруткой ?
Задача 7. SL(n; R)  GL(n; R)
Указание. Можно воспользоваться задачей 10. Тем не менее, полезно построить на SL(n; R) явные коор-
динаты.
Задача 8. O(n; R).
Задача 9. G(n; k) | множество k-мерных линейный подпространств в R n . (Результат называется много-
образием Грассмана.)
Задача 10. Докажите (воспользовавшись теоремой о неявной функции), что если f : R n ! R | глад-
кая функция, и на множестве M = fa 2 M j f(a) = 0g нет точек, в которых все частные производные
обращаются в нуль одновременно, то множество M является подмногообразием R n размерности n 1.
Задача 11. Докажите, что подмногообразие является замкнутым подмножеством.
Задача 12. Докажите, что на S 1 имеется единственная структура одномерного многообразия.
1