Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s05/caex7.ps Дата изменения: Fri Apr 8 14:34:39 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:24:04 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
ПОРИЗМ ПОНСЕЛЕ.
Задача 1. а) Докажите, что множество A = f[x : y : z] 2 CP 2 j x 2 + y 2 + z 2 = 0g  CP 2 | комплексная
кривая (комплексное многообразие размерности 1). б) Приведите пример однородного многочлена Q(x; y; z)
степени 2, для которого множество AQ = f[x : y : z] 2 CP 2 j Q(x; y; z) = 0g  CP 2 (квадрика) комплексной
кривой не является. в) Напишите необходимое и достаточное условие на многочлен Q, при котором квадрика
AQ гладкая (является комплексной кривой).
Задача 2. а) Докажите, что отображение f : A ! CP 1 , заданное равенством f([x : y : z]) = [x : y], является
разветвленным накрытием (мероморфной функцией). б) Найдите количество листов этого накрытия и опи-
шите его точки ветвления. в) Докажите, что A = CP 1 . г) Докажите, что если квадрика AQ  CP 2 гладкая,
то она биголоморфно эквивалентна CP 1 .
Задача 3. а) Введите структуру комплексного многообразия в множестве всех комплексных проективных
прямых в CP 2 . б) Докажите, что это многообразие биголоморфно эквивалентно CP 2 (обозначение: (C P 2 ) _ ).
в) Докажите, что множество прямых, касательных к A  CP 2 , является комплексной кривой, биголоморфно
эквивалентной CP 1 . г) Докажите то же самое утверждение для произвольной гладкой квадрики AQ  CP 2
(обозначение: A _
Q ).
Задача 4. а) Пусть A 1 ; A 2 | две гладких квадрики в CP 2 , не имеющие в точках пересечения общих
касательных. Докажите, что они имеют 4 общих точки. б) Пусть S = f(x; `) 2 A 1 A _
2
j x 2 `g, и p 1 : S ! A 1 ,
p 2 : S ! A _
2
| естественные проекции. Найдите количество листов отображений p 1 ; p 2 и опишите их точки
ветвления. в) Докажите, что S | комплексная кривая. г) Докажите, что род S равен 1.
Пусть ! 1 ; ! 2 | две окружности, причем ! 2 лежит внутри ! 1 . Определим отображение Понселе f : ! 1 ! ! 1
условием, что прямая, соединяющая точки x и f(x), касается ! 2 , и причем ! 2 лежит справа от прямой.
Задача 5. а) Продолжите f до биголоморфного автоморфизма квадрики A 1 , соответствующей окружности
! 1 . б) Продолжите f до биголоморфного автоморфизма кривой S из задачи 4б (квадрика A 2 соответствует
окружности ! 2 ). в) Пусть f n (x) = x для некоторой точки x 2 ! 1 . Докажите, что f n = Id.
Задача 6. Чем можно заменить окружности в определении отображения Понселе ?
1