Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s05/alg2s1.ps Дата изменения: Wed Feb 16 11:23:40 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:51:38 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Алгебра, 2 курс Семинар 1
1. Нарисуйте в стандартных аффинных картах U x 0
, U x 1
, U x 2
на
P 2 (R) кривые, заданные в карте U x 0
уравнениями: (а) x 2
1
+ x 2
2
= 1;
(б) x 2 = x 3
1
; (в) x 2
2
= x 3
1
; (г) x 2
2
= x 2
1
(x 1 + 1); (д) x 2
2
= x 1 (x 1 +1)(x 1 + 2).
2. (Продолжение) Какие из кривых, перечисленных в предыдущей
задаче, рациональны? (Пример из лекции показывает, что кривая из
пункта (а) рациональна.)
3. (а) Докажите, что кубическая кривая на плоскости бирацио-
нально изоморфна кривой вида a 1 (x)y 2 + a 2 (x)y + a 3 (x) = 0, где a i |
многочлен степени не выше i. (Указание: можно считать, что кривая
проходит через начало координат.)
(б) Докажите, что неприводимая кубическая кривая на плоскости
бирационально изоморфна кривой вида y 2 = x 3 + px + q, где p; q |
некоторые числа.
4. (Пучки коник) Рассмотрим 4 точки A, B, C, D, на веществен-
ной проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на
одной прямой. (а) Докажите, что всякая коника, проходящая через
эти точки, задаётся уравнением f + g = 0, где f = 0 и g = 0 |
уравнения каких-то двух коник в этим свойством. (Например, можно
взять f = fAB fCD , g = fAC fBD , где fXY | уравнение прямой, про-
ходящей через точки X и Y .) Множество таких коник с ( : ) 2 P 1
называется пучком (pencil) коник, проходящих через четыре точки.
(б) Пусть пучок коник содержит невырожденную конику. Дока-
жите, что он содержит не более трёх (и не менее одной) вырожден-
ных коник.
(в) Найдите вырожденные коники в пучке коник, содержащем
коники x 2
1
+ x 2
2
= x 2
0
и x 0 x 1 + x 0 x 2 + x 1 x 2 = 0.
(г) Рассмотрим в аффинной карте U x 0
коники x 2
2
+ax 2
+bx 1
+c = 0
и x 2 x 2
1
= 0. Их точки пересечения, очевидно, суть (t i ; t 2
i ), где
t 1 ; : : : ; t 4
| корни уравнения t 4 +at 2 + bt +c = 0. Исследуя вырожден-
ные коники соответствующего пучка, объясните, как свести решение
этого уравнения к решению уравнения третьей степени.
5. Можно ли задать одну из ветвей гиперболы в R 2 полиномиаль-
ными уравнениями?