Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s05/dg4.ps Дата изменения: Mon Mar 14 18:35:22 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:18:36 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия. Листок 4.
Гладкие многообразия. 28.02.2005
Задача 1. Доказать, что S n является гладким многообразием.
Задача 2. Доказать, что RP n является гладким многообразием.
Задача 3. Доказать, что CP n является комплексно-аналитическим многообразием.
Задача 4. Доказать, что пространство k-плоскостей в R n обозначаемое
G(k; n) или G(k; R n ) является гладким многообразием (это многообразие называется
многообразием Грассмана). Доказать, что G(k; C n ) является комплексно-аналитическим
многообразием. Доказать, что G(k; n)  = G(n k; n); G(1; n)  = RP n 1 :
Задача 5. Доказать, что пространство ортонормированных k-реперов в
R n обозначаемое V (n; k) или V (k; R n ) является гладким многообразием (это
многообразие называется многообразием Штифеля). Доказать, что V (k; n)  =
V (n k; n); V (1; n)  = S n 1 ; V (n; n)  = SO(n):
Задача 6. Фиксируем последовательность натуральных чисел k 1 < : : : <
k s < n: Доказать, что пространство флагов F k1 ;:::;k s
= fV k1  : : : V ks  R n g
является гладким многообразием. Аналогичный вопрос для комплексных флагов.
Обратить внимание на то, что F k = G(k; n):
Задача 7. Построить естественное отображение V (k; n) ! G(k; n) и доказать,
что это гладкое отображение.
Задача 8. Построить естественное отображение O(n) ! V (k; n) и доказать,
что это гладкое отображение.
Задача 9. Построить естественное отображение F k1 ;:::;k s
! F k1 ;:::; ^ k i ;:::;k s
и
доказать, что это гладкое отображение.
Задача 10. Проверить, что O(n) и SO(n)  группы Ли, и доказать, что их
алгеброй Ли является алгебра кососимметрических n  n матриц so(n):
Задача 11. Доказать, что U (n)  группа Ли и найти ее алгебру Ли.
Задача 12. Доказать, что многообразие Грассмана G(k; n) является однородным
пространством группы O(n); и поэтому G(k; n) = O(n)=[O(k) O(n k)]:
Задача 13. Доказать, что многообразие Штифеля V (k; n) является однородным
пространством группы O(n); и поэтому V (k; n) = O(n)=O(n k):
Задача 14. Докажите, что сфера S 1 диффеоморфна RP 1 и SO(2):
Задача 15. Докажите, что сфера S 2 диффеоморфна CP 1 :
Задача 16. Докажите, что сфера S 3 диффеоморфна SU(2):
Задача 17  . Сколько не обращающихся в ноль линейно независимых в
каждой точке векторных полей существует на S n при n = 1; 2; 3?