Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s05/dgzach.ps Дата изменения: Wed May 18 16:36:58 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:50:56 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия. Зачет. 16.05.2005
Замечание. Для получения зачета необходимо по каждой из основных тем
(кривые и поверхности, расслоения, связности, когомологии, характеристические
классы) решить хотя бы пару задач и продемонстрировать в процессе ответа
понимание темы. Просьба воздержаться от коллективного решения задач!
Кривые и поверхности.
Задача 1. Доказать, что единственными поверхностями вращения имеющими
нулевую среднюю кривизну являются плоскость и катеноид, получаемый вращением
кривой ( ch(at+b)
a ; t):
Задача 2. Найти оператор переноса на прямом круговом цилиндре в R 3 :
Как он зависит от кривой?
Задача 3. Доказать, что перепараметризации геодезических будут экстремалями
функционала длины L =
R j _
x(t)j dx:
Задача 4. Найдите на круговом конусе самопересекающиеся геодезические.
Расслоения.
Задача 5. Являются ли тривиальными касательные расслоения а) TS 1 ; б)
TS 2 ; в) TS 3 ?
Задача 6. Приведите пример двух нетривиальных векторных расслоений,
таких что их прямая сумма  тривиальное расслоение.
Задача 7. Приведите пример двух нетривиальных векторных расслоений,
таких что их произведение  тривиальное расслоение.
Задача 8. Пусть V k (R N ) ! G k (R N ) естественное расслоение многообразия
Штифеля над многообразием Грассмана. Каков его слой? Найти соответствующее
ассоциированное векторное расслоение (то есть векторное расслоение с теми же
склеивающими коциклами).
Задача 9. Докажите, что сумма касательного расслоения к двумерной
сфере и тривиального расслоения ранга 1 является тривиальным расслоением
ранга 3:
Задача 10. Пусть E ! RP n универсальное (тавтологическое) расслоение.
Доказать, что сумма T (RP n ) и тривиального расслоения ранга 1 изоморфна
E  


E 
| {z }
n+1
:
Задача 11  . Пусть E ! RP n универсальное (тавтологическое) расслоение.
Тривиально ли
E
E?
Связности.
Задача 12. Пусть у нас есть связность r в расслоении E: Продолжим ее
до связности r End(E) в расслоении End(E): Докажите тождество Бьянки:
r End(E) F = 0:
Перепишите это как соотношение на кривизну и 1-форму связности.
Задача 13. Фиксируем точку p на римановом многообразии M: Определим
экспоненциальное отображение exp p : T p M ! M как exp p () =  (1); где
 2 T p M; а  (t) геодезическая выходящая из p с вектором скорости :
а) Докажите, что экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом
достаточтно малой окрестности нулевого вектора касательной плоскости на
свой образ.
б) Экспоненциальное отображение вводит так называемые геодезические
координаты в окрестности p: Докажите, что в этих координатах в точке p
символы Кристоффеля обращаются в ноль.

Задача 14. Найти все геодезические на плоскости Лобачевского. Можно
взять любую из моделей плоскости Лобаческого, например верхнюю полуплоскость
с метрикой dx 2 +dy 2
y 2 :
Когомологии.
Задача 15. Найти когомологии CP n :
Задача 16. Найти когомологии двумерной сферы с g приклеенными ручками.
Задача 17  . (Формула Кюннета). Доказать, что
H  (M 1
)
H  (M 2 ) = H  (M 1 M 2 );
то есть M
k1+k2=k
H k1 (M 1
)
H k2 (M 2 ) = H k (M 1  M 2 ):
Достаточно рассматривать где надо только многообразия конечного типа, чтобы
можно было воспользоваться принципом Майера-Виеториса.
Задача 18. Найти с помощью формулы Кюннета когомологии тора T n :
Задача 19. Найдите когомологии с компактным носителем листа Мебиуса.
Характеристические классы.
Задача 20. Для ориентированной гиперповерхности в евклидовом пространстве
M 2n ,! R 2n+1 выразить классы Эйлера и Понтрягина через первую и вторую
квадратичные формы.
Задача 21. Докажите, что если у комплексного расслоения  есть k не
обращающихся в ноль и независимых в каждой точке сечений, то c n () = 0;
. . . , c n k+1 () = 0:
Задача 22. Докажите, что если у ориентированного вещественного расслоения
 есть не обращающееся в ноль сечение, то () = 0:
Задача 23. Пусть  комплексное расслоение, rk  = k; а S 2  

 его
симметрический квадрат. Найдите c 1 (S 2 ):
Задача 24. Докажите, что если многообразие M является границей некоторого
многообразия W; то все числа Понтрягина M равны нулю.