Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s05/top2_4.ps Дата изменения: Thu Feb 24 12:38:09 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:55:06 2007 Кодировка: koi8-r

Листок 4. Двумерные поверхности (28 февраля)
1. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать диск D 2 , то в результате получится лист
Мёбиуса.
Пусть M 1 #M 2 | двумерная поверхность, которая получается из двумерных поверхностей M 1 и M 2
следующей операцией: из M 1 и из M 2 вырезается по диску D 2 и соответствующие точки их краёв скле-
иваются. Эту операцию называют связной суммой. Связную сумму n торов T 2 будем для краткости
обозначать nT 2 , а связную сумму m проективных плоскостей P 2 будем обозначать mP 2 (обозначения
nT 2 и mP 2 не стандартные).
2. Докажите, что если поверхность M 1 неориентируема, то поверхность M 1 #M 2 тоже неориентируема.
3. Докажите, что S 2 #2P 2  K 2 , т.е. сфера S 2 , из которой вырезаны два диска и вместо них вклеены
два листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна.
4. Докажите, что T 2 #P 2  P 2 #P 2 #P 2 .
Пусть M 2 | триангулированная замкнутая двумерная поверхность; v | число вершин триангуля-
ции, e | число рёбер, f | число граней. Эйлеровой характеристикой поверхности M 2 называют число
(M 2 ) = v e + f .
5. Докажите, что (M 1 #M 2 ) = (M 1 ) + (M 2 ) 2.
6. Докажите, что (mT 2 ) = 2 2m и (nP 2 ) = 2 n.
7. Докажите, что замкнутая ориентируемая двумерная поверхность не может быть гомеоморфна за-
мкнутой неориентируемой двумерной поверхности.
8. Докажите, что эйлеровы характеристики двух гомеоморфных замкнутых двумерных поверхностей
одинаковы. (Указание: рассмотрите две триангуляции одной и той же поверхности и пошевелите одну из
них так, чтобы рёбра этих двух триангуляций пересекались трансверсально.)
9. Какой двумерной поверхности гомеоморфно факторпространство S 1 S 1 по следующему отношению
эквивалентности: (x; y)  (y; x)?
10. Можно ли граф K 3;3 вложить в лист Мёбиуса?
11. Можно ли граф K 5 вложить в тор?
12. Докажите, что поверхности nT 2 и mP 2 можно получить из 4n-угольника и 2m-угольника, отожде-
ствляя их стороны соответствующим образом.
13. а) Докажите, что на поверхности nP 2 существует замкнутая кривая , после разрезания вдоль
которой поверхность становится ориентируемой.
б) Докажите, что если n чётно, то окрестность кривой гомеоморфна цилиндру, а если n нечётно |
то листу Мёбиуса.
14. Предположим, что на сфере с g ручками M 2 можно расположить p несамопересекающихся замкну-
тых кривых C 1 ; : : : ; C p так, чтобы они попарно не пересекались и не разбивали M 2 (т.е. чтобы множество
M 2 n (C 1 [


[C p ) было связно), но любые p + 1 такие кривые разбивают M 2 на части. Докажите, что
p = g.
15. Докажите, что на замкнутой неориентируемой поверхности nP 2 можно расположить n попарно не
пересекающихся листов Мёбиуса, но нельзя расположить n+1 попарно непересекающихся листов Мёбиуса.
1