Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s05/triv_exam.ps Дата изменения: Mon Mar 28 12:29:30 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 16:13:51 2007 Кодировка: koi8-r

Спецпоток \Тривиум", семестр 2 { экзамен по анализу 1
Анализ, 2й семестр, курс по дифференциальному исчи-
слению.
Экзамен полудомашний { задачи можно сдавать в среду 23 марта и в четверг 24 марта. Задачи
сдаются устно. При этом могут быть заданы дополнительные теоретические вопросы. Для
сдачи экзамена достаточно сдать 2 задачи (это оценка \3"); чтобы получить \4", надо решить
3 задачи, чтобы получить \5" { соответственно, четыре задачи.
Задача 1. Пусть f(x 1 ; x 2 ) { вещественнозначная функция двух переменных (иными словами,
отображение R 2 ! R.
(а) Пусть f непрерывна, класса гладкости C 1 вне 0 2 R 2 , и пусть и @=@x 1 f , и @=@x 2 f хорошо
определены в 0 2 R 2 . Верно ли, что f класса гладкости C 1 всюду на R 2 ? Верно ли это,
если еще предположить, что D v f хорошо определено в 0 для любого вектора v 2 R 2 ?
(б) Пусть f класса C 1 всюду, и класса C 2 вне нуля, и пусть @=@x 1 @=@x 2 f и @=@x 2 @=@x 1 f
хорошо определены в нуле. Верно ли, что f класса C 2 всюду? Верно ли, что
@
@x 1
@
@x 2
f =
@
@x 2
@
@x 1
f?
Предположим дополнительно, что @=@x 1 @=@x 2 f и @=@x 2 @=@x 2 f непрерывны в нуле {
верно ли тогда, что f класса C 2 ? А если еще предположить, что
@
@x 1
@
@x 2
f =
@
@x 2
@
@x 1
f?
Здесь @=@x 1 , @=@x 2 { частные производные вдоль базисных векторов h1; 0i; h0; 1i 2 R 2
Задача 2. Пусть E { векторное расслоение на гладком компактном многообразии M . Связ-
ностью на E называется такой оператор r : C 1 (M;E) ! C 1
(M;E
T  M ), что
r(ae) = ar(e) +
e
da
для любых a 2 C 1 (M;R), e 2 C 1 (M;E). Докажите, что на любым расслоении существует
связность. Указание: докажите сначала, что если r 1 , r 2 { связности, а  2 R { любое число,
то r 1 + (1 )r 2 { тоже связность; затем воспользуйтесь разбиением единицы.
Задача 3. (а) Пусть M { гладкое многообразие, а E 1 , E 2 { векторные расслоения на нем.
Верно ли, что любое отображение ' : C 1 (M;E 1 ) ! C 1 (M;E 2 ), которое совместимо со
структурой C 1 (M;R)-модуля, происходит из отображения расслоений E 1 ! E 2 ?
(б) Пусть M { гладкое мнгообразие, а E { расслоение на нем, нсбаженное связностью r.
Докажите, что r единственным образом продолжается до отображения
r : C 1 (M; q
T 
M
E) ! C 1 (M; q
+1 T 
M
E);
для которого
r(e
) = r(e) ^  + ( 1) deg 
e
d:
Более того, докажите, что r 2 : C 1 (M;E) ! C 1 (M; 2 T 
M
E) происходит из ото-
бражения расслоений R : E !  2 T 
M
E (это отображение называется кривизной
связности r).

Спецпоток \Тривиум", семестр 2 { экзамен по анализу 2
Задача 4. Пусть M { гладкое компактное ориентируемое подмногообразие, а M 0  M { под-
многообразие коразмерности 1, заданное как нули гладкой функции f 2 C 1 (M;R), причем
df 6= 0. Докажите, что M 0 ориентируемо.
Задача 5. Пусть M { гладкое компактное ориентируемое многообразие размерности 2, на
котором существует векторное поле , нигде не обращающееся в ноль. Докажите, что каса-
тельное расслоение TM тривиально. Верно ли это, если M размерности 3 (указание: рассмо-
трите произведение S 2  S 1 сферы на окружность)?
Задача 6. Докажите, что касательное расслоение TS 2 к двумерной сфере S 2 нетривиально.
Разрешается использовать без доказательства следующий факт:
 Пусть f 1 ; : : : ; f n : S 1 ! S 1 { непрерывные отображения из единичной окружности S 1 
C в себя, причем каждое из них продолжается до непрерывного отображения D ! S 1 из
единичного диска D  C , D = fz 2 C jjzj  1g. Тогда произведение f 1 f 2 : : : f n : S 1 ! S 1
не равно отображению S 1 ! S 1 ; z 7! z 2 .
Указание: введите сначала на сфере риманову метрику; потом покройте ее двумя картами {
северным и южным полушарием { и вычислите функцию перехода.
Задача 7. Для любого конечномерного векторного пространства V и вектора v 2 V , опера-
ция \подстановки v" { это эндоморфизм  7!  y v внешней алгебры  q
V  , заданный так:
(e 1 ^


^ e k ) y v =
X
1ik
( 1) i 1 hv; e i ie 1 ^ : : : e i 1 ^ e i+1 ^ : : : e k ;
где e 1 ; : : : ; e k 2 V  { любые ковектора, а hv; e i i 2 R { результат применения ковектора e i 2 V 
к вектору v 2 V .
(а) Докажите, что операция  7!  y v,  q +1 V  ! V  удовлетворяет правилу Лейбница:
( ^ ) y v есть сумма ( y v) ^  и  ^ ( y v) с какими-то знаками. С какими?
(б) Докажите формулу гомотопии Картана: для любого векторного поля  и любой k-
формы  на гладком многообразии M имеем
D  () = d( y ) + (d y );
где D  { производная Ли вдоль . Указание: докажите сначала, что обе части удовлетво-
ряют правилу Лейбница и, более того, коммутируют с дифференциалом де Рама; затем
проверьте равенство для k = 0.
Задача 8. Пусть M { гладкое компактное многообразие размерности k, а f 2 C 1 (M;R) {
гладкая функция на нем. Напомним, что критическая точка функции f { это такая точка
m 2 M , что df m = 0; критическая точка m невырождена, если гессиан в ней { невырожденная
квадратичная форма на TmM .
(а) Докажите, что у f по крайней мере две критические точки.
(б) Пусть у f ровно две критические точки, причем обе невырождены. Докажите, что M
диффеоморфно сфере S k . Указание: пусть m { одна из двух невырожденных критиче-
ских точке. Докажите сначала, используя лемму Морса, что для любого c 2 R, близкого
к f(m), подмногообразие f 1 (c)  M либо пусто, либо диффеоморфно сфере S k 1 .