Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s06/dg8.ps Дата изменения: Wed Apr 12 11:38:58 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:24:55 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: юпитер

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия. Листок 8.
Римановы многообразия. Геодезические. 10.04.2006
Задача 1. Докажите, что для римановой связности тензор Риччи симметричен.
Задача 2. Доказать, что из-за многочисленных симметрий тензор Римана
на двумерном многообразии полностью определяется своей компонентой R 1212 :
Задача 3. Докажите, что на двумерном многообразии верно тождество
R =
2R 1212
g 11 g 22 g 2
12
:
Задача 4. Докажите, что на двумерной поверхности в трехмерном пространстве
скалярная кривизна равна удвоенной гауссовой кривизне.
Задача 5  . Докажите, что на трехмерном многообразии тензор Риччи полностью
определяет тензор Римана по формуле
R ij;kl = R ik g jl +R jl g ik R il g jk R jk g il +
R
2
(g il g jk g ik g jl ):
Задача 6. Пусть  двумерное подпространство касательного пространства,
натянутое на векторы X и Y: Докажите, что секционная кривизна вдоль плоскости
(или двумерного направления) 
K() =
< R(X;Y )X; Y >
< X;X >< Y; Y > < X;Y > 2
корректно определена, то есть не зависит от выбора векторов X и Y; порождающих
:
Задача 7. Докажите, что для сферы S n  R n+1 радиуса r тензор Римана
выражается так: R(X;Y )Z =
1
r 2
(< Y; Z > X < X;Z > Y ):
Задача 8. Докажите, что в предыдущей задаче секционная кривизна не
зависит ни от точки, ни от направления, и равна K =
1
r 2
:
Задача 9. Фиксируем точку p на римановом многообразии M: Определим
экспоненциальное отображение exp p : T p M ! M как exp p () =  (1); где
 2 T p M; а  (t) геодезическая выходящая из p с вектором скорости :
а) Докажите, что экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом
достаточтно малой окрестности нулевого вектора касательной плоскости на
свой образ.
б) Экспоненциальное отображение вводит так называемые геодезические
координаты в окрестности p : фиксируем базис в касательном пространстве
T p M; тогда координаты касательного вектора v в этом базисе по определению
будут геодезическими координатами точки exp p (v): Докажите, что в этих координатах
в точке p символы Кристоффеля обращаются в ноль.
Задача 10. Найти все геодезические на плоскости Лобачевского. Можно
взять любую из моделей плоскости Лобаческого, например верхнюю полуплоскость
с метрикой
dx 2 + dy 2
y 2 :
Задача 11. Докажите, что в полугеодезических координатах x 1 ; : : : ; x n ; то
есть в таких координатах, в которых метрика имеет вид
X
16i;j6n 1
g ij dx i dx j + (dx n ) 2 ;
кривые x 1 = const; : : : ; x n 1 = const являются геодезическими с параметром
t = x n :

Задача 12. Докажите, что геодезическая exp p (tv) и геодезическая сфера
exp p (S Ж ); где S Ж = fv 2 T p M jjvj = Жg; всегда ортогональны друг другу. Как при
помощи этого наблюдения ввести полугеодезические координаты в окрестности
точки p?