Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s06/dg1.ps Дата изменения: Wed Feb 22 18:29:06 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:23:59 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия. Листок 1.
Кривые и поверхности. 13.02.2006
Задача 1. Доказать, что кривизна плоской кривой r(t) = x(t)e 1 + y(t)e 2 ;
где t  произвольный параметр, может быть найдена
а) по формуле k = jx _
y  y _
xj
( _
x 2 + _
y 2 ) 3
2
:
б) по формуле
k =
j[ _
r;  r]j
j _
rj 3 : (1)
Задача 2. Доказать, что при кривизна пространственной кривой r(t) =
x(t)e 1 + y(t)e 2 + z(t)e 3 ; где t  произвольный параметр, может быть найдена
по формуле (1), а кручение  по формуле { = ( _
r;r;r_)
j[ _
r;r]j 2 :
Задача 3. Найти кривизну и кручение кривой r(t) = e t (sin t; cos t; 1):
Задача 4. а) Доказать, что если кривизна кривой тождественно равна
нулю, то это прямая.
б) Доказать, что если кручение кривой тождественно равно нулю, то эта
кривая лежит в плоскости.
Задача 5. Доказать, что если кривая с k 6= 0;  6= 0 лежит на сфере радиуса
R; то
R 2 =
1
k 2

1 +
(k 0 ) 2
({k) 2

; (2)
где 0 обозначает производную по отношению к натуральному параметру. Доказать,
что если еще и k 0 6= 0; то и обратное верно: из тождества (2) следует, что кривая
лежит на некоторой сфере радиуса R:
Задача 6. Доказать, что кривая постоянной кривизны, лежащая на сфере,
 окружность.
Задача 7. Описать кривые с
а) постоянным кручением,
б) постоянными кривизной и кручением,
Задача 8  . Доказать, что выпуклая замкнутая гладкая плоская кривая
имеет не менее 4 точек экстремума кривизны.
Задача 9  . Доказать, что для замкнутой гладкой кривой
R
(r dk+{b dl) = 0;
где l  натуральный параметр.
Задача 10. Написать параметрическое уравнение тора вращения и найти
индуцированную метрику.
Задача 11. Найти первую и вторую квадратичные формы, а также гауссову
и среднюю кривизны для сферы произвольного радиуса.
Задача 12. Найти первую и вторую квадратичные формы, а также гауссову
и среднюю кривизны для поверхности вращения
r(u; ') = (x(u); (u) cos '; (u) sin '):
Что будет в частном случае (u) = u; x(u) = 

a ln a+
p
a 2 u 2
u
p
a 2 u 2

;
a > 0 (поверхности Бельтрами)?
Задача 13. Доказать, что поверхность с нулевыми гауссовой и средней
кривизнами есть плоскость.
Задача 14. Доказать, что единственными поверхностями вращения имеющими
нулевую среднюю кривизну являются плоскость и катеноид, получаемый вращением
кривой ( ch(at+b)
a
; t):
Задача 15. Доказать, что средняя кривизна есть интегральное среднее всех
нормальных кривизн H = 1

R 2
0 k(') d'; где k(')  нормальная кривизна в
направлении '; отсчитываемом от одного из главных направлений.