Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s06/top1_s2.ps Дата изменения: Mon Feb 20 13:29:38 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:18:03 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: черные дыры

МК НМУ, Топология, листок 2 16.02.06
Факторпространство и дискретные группы.
Говорят, что топологическая группа G (по определению G | хаусдорфово топологическое про-
странство) непрерывно действует на топологическом пространстве X , если для каждого g 2 G
x 2 X отображение (g; x) ! gx является непрерывным отображением G  X ! X (плюс обычные
признаки действия g 1
(g 2 x) = (g 1 g 2
)x и 1  x = x).
Через G n X обозначим множество всех G-орбит точек пространства X , и пусть  : X ! G n X |
естественная проекция, заданная равенством (x) = fGxg. Наделим G n X фактортопологией, объ-
явив подмножеcтво U 2 G n X открытым, если его прообраз  1 (U) открыт в X .
Разминка.
Задача 1. Пусть на множестве X задана топология конечных дополнений (открытыми считаются
все множества вида X n fконечное число точекg и пустое множество ;). Доказать, что если X
бесконечно, то X компактно, но не хаусдорфово.
Задача 2. (a) Если X компактно и Y имеет фактортопологию, индуцированную некоторым
отображением "на" f : X ! Y , то Y компактно.
(b) Всякое непрерывное отображение связного топологического пространства в дискретное
топологическое пространство (т.е. такое, где все подмножества открыты) постоянно.
Задачи.
Задача 3. Доказать, что отображение  непрерывно и открыто.
Задача 4. Факторпространство G n X не обязано быть хаусдорфовым, даже если X | хаусдор-
фово пространство. Привести пример.
Задача 5. Пусть K < G | замкнутая в G подгруппа. K действует на G левыми сдвигами.
Доказать, что K n G | хаусдорфово пространство.
Задача 6. Пусть X локально компактно и хаусдорфово. Доказать, что факторпространство
G n X компактно тогда и только тогда, когда существует такое компактное подмножество C в X ,
что GC = X .
Подгруппа < G называется дискретной в группе G, если \U e = feg для некоторой окрестности
U e
единицы в группе G.
Задача 7. Пусть G | локально компактная группа, а K < G | компактная подгруппа в G.
Следующие утверждения эквивалентны:
(1) подгруппа < G дискретна в G.
(2) для любого компакта C из K n G множество f 2 jC
\ C 6= ;g конечно
( действует правыми сдвигами на факторпространстве K n G ).
Задача 8. G и K имеют тот же смысл, что и в задаче 7, а < K | любая дискретная подгруппа
группы G. Доказать, что для любой точки z 2 K n G существует такая окрестность U , что
f 2 jU \ U 6= ;g = f 2 jz = xg.