Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s07/compvar1.ps Дата изменения: Tue Mar 6 14:33:39 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 15:32:39 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

НМУ, Комплексно аналитические многообразия
и голоморфные расслоения. Листок 1.
Многообразия, расслоения, почти комплексные структуры. 3.03.2007
Большая часть задач предназначена для повторения материала, который
мы быстро пролетели, полагая, что он более-менее известен или понятен.
Но есть и задачи, которые будут для Вас новыми, поэтому полезно хотя бы
пробежать глазами условия всех задач.
Задача 1. Докажите, что комплексные проективные пространства CP n и
комплексные многообразия Грассмана G k;n (C ) действительно являются голоморфными
многообразиями.
Задача 2. Докажите, что тавтологические (универсальные) расслоения над
комлексными проективными пространствами в самом деле являются голоморфными
расслоениями.
Задача 3. Докажите, что расслоение TCP n 1 как C 1 -расслоение изоморфно
расслоению   


  
| {z }
n + 1 раз
; где 1 тривиальное комплексное расслоение ранга 1; 
обозначает тавтологическое расслоение, а звездочка обозначает двойственное
расслоение (как комплексное!).
Задача 4. Пусть f : X ! Y гладкое вещественное отображение комплексно
аналитических многообразий X и Y: Докажите, что это отображение является
голоморфным тогда и только тогда, когда
df p (T 0
p X)  T 0
f(p) Y;
где df p : T C
p X ! T C
f(p) Y продолжение дифференциала f по C-линейности на
комплексификации касательных пространств, а T 0
p X = (T C
p X) 1;0 голоморфное
касательное пространство (аналогично T 0
f(p)
Y ).
Указание: задача на самом деле из линейной алгебры.
Задача 5  . Напомним, что числом Кэли c = (q 1 ; q 1 ) называется упорядоченная
пара кватернионов. Сложение определяется покоординатно, а умножение по
закону
(q 1 ; q 2 )
(q 0
1 ; q 0
2 ) = (q 1 q 0
1 q 0
2 q 2 ; q 0
2 q 1 + q 2 q 0
1 ):
Сопряж?нное число Кэли  c определяется как c = (q 1 ; q 2 ): Произведение cc
имеет вид (a; 0); где a действительный неотрицательный кватернион, поэтому
мы просто полагаем cc = a; это число обозначается jcj 2 и называется нормой c:
Легко проверить, что jcj = 0 тогда и только тогда, когда c = 0 = (0; 0); а также
то, что 1 = (1; 0) является правой и левой единицей, а c 1 =
c
jcj 2 является
правым и левым обратным к c: Прямым вычислением можно доказать, что
jcdj = jcj
jdj; откуда следует, что из cd = 0 следует, что c = 0 или d =
0: Легко проверить, что умножение дистрибутивно относительно сложения.
Поэтому множество C чисел Кэли является алгеброй с делением. Отметим,
что ассоциативности умножения нет!
Как линейное пространство C изоморфно R 8 ; числа Кэли единичной нормы
образуют сферу S 7  R 8 : Введ?нный ранее модуль числа Кэли jcj определяет
на R 8 евклидову структуру. Рассмотрим на сфере S 7 ?экватор? S 6 ; состоящий
из тех точек S 7 ; которые ортогональны единице.
Проверьте, что умножение справа на элемент b 2 S 7 является ортогональным
преобразованием, и постройте с помощью умножения чисел Кэли почти комплексную
структуру на S 6 :