Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s07/alg2-8.ps Дата изменения: Thu Mar 22 18:27:23 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:04:26 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

НМУ j Алгебра j 2-й семестр 22 марта 2007 г.
Листок ‚8
Ящик с инструментами
Тензорное произведение абелевых групп
Тензорным произведением
A
B абелевых групп A и B называется абелева группа,
порожденная парами
a
b; a 2 A; b 2 B , которые подчинены соотношениям:
(a 1 + a 2
)
b = a
1
b + a
2
b;
a
(b 1 + b 2 ) =
a
b 1 +
a
b 2
(обратите внимание, что
ka
b =
a
kb и
a
0 =
0
b = 0).
1. Вычислить: а) Z
n
Z m ; б)
A
Z n .
2. Пусть A | свободная абелева группа ранга n. Тогда группа
A
B изоморфна
B n = B 


B
| {z }
n
.
3. Сформулируйте и докажите универсальность тензорного произведения.
4. Определите тензорную, симметрическую и внешнюю степени абелевой группы и
объясните, как они устроены для группы а) Z; б) Z n ; в) произвольной (конечной
над Z) абелевой группы A.
Идеалы
(A | произвольное кольцо без делителей нуля.)
Целые идеалы I и J называются взаимно простыми, если I + J = A.
5. Если идеалы I и J взаимно просты, то I \ J = IJ .
6. Если идеалы fI k g n
k=0 попарно взаимно просты, то I k +
Q
k 6=`
I ` = A для любого
1 6 k 6 n. Верно и обратное утверждение.
7. Если идеал I взаимно прост с J и W , то он взаимно прост с JW .
8. Пусть fI k g | коллекция попарно взаимно простых идеалов и пусть fa 1 ; : : : ; a n g
| произвольные элементы кольца A. Тогда найдется такой элемент a 2 A, что
a  a k (mod I k ); k = 1; : : : ; n
Элемент a определен однозначно mod
n
Q
i=1
I ` .
1

9. Доказать, что в дедекиндовом кольце A из взаимной простоты идеалов I 2 и J 2
следует взаимная простота I и J .
10. Пусть I и J | идеалы дедекиндова кольца A. Доказать, что существует такой
идеал W , взаимно простой с идеалом J , что IW | главный идеал.
ЕГЭ по алгебре
11. Разложить на простые множители в кольце O p
5 идеал (9) (т.е. требуется дать
точное описание простых идеалов кольца, входящих в это разложение. Например,
указав их Z-базис).
12. Доказать, что любой конечный A-модуль есть гомоморфный образ конечного
свободного A-модуля.
13. Все линейные дифференциальные операторы с постоянными (вещественными) ко-
эффициентами образуют коммутативное кольцо D. Так как любой такой опера-
тор записывается как многочлен от операторов @
@x i
; i = 1; : : : ; n, то это кольцо
изоморфно кольцу многочленов
D ' R[t 1 ; : : : ; t n ]; @
@x i
7! t i ; i = 1; : : : ; n
a) Показать, что кольцо R[X 1 ; : : : ; X n ] является модулем над кольцом D.
б) Является ли D-модуль R[X 1 ; : : : ; X n ] конечным над D?
в) Показать,что любой элемент этого D-модуля является элементом кручения.
14. Дать определение проективной абелевой группы и провести их классификацию.
2