Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s07/alg2-1.ps Дата изменения: Fri Feb 16 12:18:03 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:02:54 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: реголит

НМУ | Алгебра | 2-й семестр 8 февраля 2007 г.
Листок ‚1
Поля
Алгебраическая зависимость (независимость)
Поле L называется расширением конечного типа своего подполя К , если суще-
ствуют такие элементы  1 ; : : : ;  n из L, что любой элемент из L представляется
рациональной функцией от  1 ; : : : ;  n с коэффициентами из поля K . В этом случае
пишут L = K( 1 ; : : : ;  n ).
Пусть L | расширение K . Семейство элементов ( 1 ; : : : ;  n ) поля L называется
алгебраически зависимым, если существует такой многочлен F 2 K[X 1 ; : : : ; X n ], не
равный тождественно нулю, что F ( 1 ; : : : ;  n ) = 0.
Если при этом элемент  n входит в это соотношение (то есть многочлен от од-
ной переменной F ( 1 ; : : : ;  n 1 ; X n ) не равен тождественно нулю), то  n называется
алгебраически зависимым от  1 ; : : : ;  n 1 .
0. Дать определение алгебраически независимого семейства.
1. Доказать, что если элемент  алгебраически зависит от  1 ; : : : ;  n 1
, а каждый
из  i , в свою очередь, алгебраически зависит от элементов  1 ; : : : ; m , то  алге-
браически зависит от  1 ; : : : ; m .
2. Доказать, что в расширении конечного типа мощность алгебраически независи-
мого семейства конечна.
3. Доказать, что в расширении конечного типа все максимальные алгебраически
независимые семейства содержат одно и то же число элементов.
Это число называется степенью трансцендентности L над K и обозначается tr deg L=K .
4. Пусть L | поле рациональных функций на кривой C = fx 2 + y 3 + y + 1 = 0g в
C 2 . Вычислить tr deg L=C .
5. Показать, что класс конечных алгебраических расширений совпадает с классом
расширений конечного типа степени трансцендентности 0.
6. Любое расширение L поля K изоморфно алгебраическому расширению или са-
мого поля K , или поля рациональных функций над K . (Можно предполагать, что
расширение L { конечного типа над K ; или этого не предполагать, но тогда поль-
зоваться чем-то типа леммы Цорна.)
"Верую" 1
Можно доказать, что для любого поля P существует алгебраически замкнутое ал-
гебраическое расширение P . Поле P определено с точностью до изоморфизма, то-
ждественного на поле P .
Мы будем постоянно этим пользоваться.
1

Конечные поля
7. Порядок любого конечного поля равен p n , где p | простое число.
8. Для любого q = p n существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле
F q порядка q .
Воспользоваться существованием поля F p и исследовать корни многочлена x q x .
9. Мультипликативная группа любого конечного поля | циклическая.
Воспользоваться тем, что нециклическая конечная абелева группа содержит подгруппу Z t Z t для
некоторого простого t .
10. Группа автоморфизмов конечного поля F q , где q = p n , | циклическая группа
порядка n. В качестве ее образующей можно выбрать автоморфизм Фробениуса
x 7! x p .
Разное
11. Пусть L | конечное расширение поля K , и K(X 1 ; : : : ; X n ) { поле рациональ-
ных функций над K . Доказать, что тензорное произведение
L
K(X 1 ; : : : ; X n )
изоморфно L(X 1 ; : : : ; X n ) (полю рациональных функций над L).
12. Пусть L | алгебраическое расширение поля K , и каждый отличный от кон-
станты многочлен над K имеет корень в L. Доказать, что поле L алгебраически
замкнуто.
Решив эту задачу, вернитесь еще раз к "Верую" 1.
2