Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s07/dg9.ps Дата изменения: Tue Apr 3 12:15:03 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:27:05 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия. Листок 9.
Римановы многообразия. Геодезические. 3.04.2007.
Задача 1. Фиксируем точку p на римановом многообразии M: Напомним,
что мы определили экспоненциальное отображение exp p : T p M ! M
как exp p () =  (1); где  2 T p M; а  (t) геодезическая выходящая из
p с вектором скорости : На лекции мы доказали, что экспоненциальное
отображение является диффеоморфизмом достаточтно малой окрестности
U нулевого вектора из T p M на свой образ exp p (U ): Тогда экспоненциальное
отображение вводит так называемые геодезические координаты в окрестности
p следующим образом. Фиксируем базис в касательном пространстве T p M;
тогда координаты касательного вектора v в этом базисе по определению
будут геодезическими координатами точки exp p (v):
Докажите, что в этих координатах в точке p символы Кристоффеля
обращаются в ноль (в других точках, в общем-то, это неверно).
Задача 2. Геодезические координаты, конечно же, центрированы в точке
p; то есть координаты p равны (0; : : : ; 0): Докажите, что центрированные в
точке p координаты x 1 ; : : : ; x n ; определ?нные в окрестности U; являются
геодезическими тогда и только тогда, когда i
jk
x j x k  0 тождественно по
x 1 ; : : : ; x n в U:
Указание. Обратите внимание на то, что в геодезических координатах
геодезические, проходящие через точку p; имеют вид x i = a i t:
Задача 3. Интегрируя уравнение геодезических, найти все геодезические
на плоскости Лобачевского как непараметризованные кривые. Можно взять
любую из моделей плоскости Лобаческого, например верхнюю полуплоскость
с метрикой
dx 2 + dy 2
y 2
:
Указание. Найдите два интеграла исходной системы из двух дифференциальных
уравнений второго порядка и используйте их для понижения порядка. Вы
получите два уравнения, дающие dx
dt
и dy
dt
: Выпишите тогда уравнение для
dy
dx и решите его.
Задача 4. Докажите, что в полугеодезических координатах x 1 ; : : : ; x n ;
то есть в таких координатах, в которых метрика имеет вид
X
16i;j6n 1
g ij dx i dx j + (dx n ) 2 ;
кривые x 1 = const, : : : ; x n 1 = const являются геодезическими с параметром
t = x n :
Задача 5. Докажите, что геодезическая exp p (tv) и геодезическая сфера
exp p (S Ж ); где S Ж = fv 2 T p M jjvj = Жg; всегда ортогональны друг другу.
Как при помощи этого наблюдения ввести полугеодезические координаты
в окрестности точки p?