Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s07/dg_exam.ps Дата изменения: Tue May 15 12:57:51 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:28:32 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия.
Экзамен. 15.05.2007.
Экзамен будет домашним. Решения (не забудьте написать свою фамилию!)
надо положить в учебной части в почтовую ячейку с моим именем (А. Пенской)
не позднее, чем через неделю.
Убедительная просьба решать самостоятельно и не откладывать на последний
день.
В дополнение к баллам за решение экзаменационных задач (баллы за каждую
задачу указаны), также будут начислены баллы за решение задач из листков
с задачами на семинарах в течение семестра из расчета 1 балл за каждые
5 решенных задач, каждый подпункт в задаче с подпунктами считается за
задачу. Прием задач из листков заканчивается на семинаре 15 мая.
Пересчет баллов в оценки следующий: 50 баллов достаточно для ?отлично?,
40 для ?хорошо?, 30 для ?удовлетворительно?.
Задача 1. Найдите все кривые в R 3 такие, что k(s) =
1
s ; {(s) =
1
s ; где s
натуральный параметр на кривой. (3 балла).
Задача 2. Из аналитической геометрии вы знаете примеры поверхностей,
на которых есть два различных семейства прямолинейных образующих. Докажите,
что если на гладкой двумерной поверхности в трехмерном пространстве есть
три различных семейства прямолинейных образующих, то эта поверхность является
куском плоскости. (5 баллов).
Задача 3. Рассмотрим плоскость Лобачевского, например как вернюю полуплоскость
R 2
+ с метрикой ds 2 =
dx 2 + dy 2
y 2
: Докажите, что секционная кривизна всюду
равна 1: (4 балла).
Задача 4. Пусть [z 0 :


: z n ] однородные координаты в RP n : Напомним,
что отображение Веронезе степени d  это отображение  d : RP n ! RP N ;
заданное формулой
 d ([z 0 : : : : :z n ]) = [: : : :z I : : : : ]; (1)
где z I это некоторый моном степени d от z 0 ; : : : ; z n ; а в правой части (1) стоят
все мономы степени d: Например, при n = 2 и d = 2 получаем отображение
RP 2 ! RP 5 ; заданное формулой
 2 ([z 0 : z 1 : z 2 ]) = [z 2
0 : z 2
1 : z 2
2 : z 0 z 1 : z 0 z 2 : z 1 z 2 ]:
Найдите обратный образ  
d 1 универсального расслоения при этом отображении.
(5 баллов).
Задача 5. Пусть E ! RP n универсальное (тавтологическое) расслоение.
Рассмотрим расслоение AnnE; слой которого над точкой x состоит из ковекторов,
принимающих нулевое значение на прямой E x . Построить связность на расслоении
AnnE и вычислить форму кривизны. (7 баллов).
Задача 6. Для ориентированной поверхности в евклидовом пространстве
M 2 ,! R 3 выразить классы Эйлера и Понтрягина через первую и вторую
квадратичные формы. (6 баллов).
Задача 7  . Найти число Понтрягина
hp 1 (r 1
H ); [S 4 ]i =
I
S 4
p 1 (r 1 H );
где 1
H = (E ! HP 1 ' S 4 )  универсальное расслоение над кватернионной
проективной прямой, а r операция овеществления (не забывайте о некоммутативности
кватернионов!) (20 баллов).