Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/complex_examen.ps Дата изменения: Thu Jul 9 20:47:55 2009 Дата индексирования: Sat Oct 17 00:18:47 2009 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Комплексные поверхности, задачи для экзамена Миша Вербицкий
Комплексные поверхности,
задачи для экзамена.
Для сдачи экзамена с оценкой 5 - k достаточно решить 7 - k задач из списка.
Задача 1.1. Пусть M некэлерова поверхность, расслоенная над кривой, C
гладкая, связная кривая, C -#M нетривиальное голоморфное отображе-
ние. Докажите, что род C не больше 1.
Задача 1.2. Пусть V топологическое векторное пространство, а V - про-
странство непрерывных функционалов на V , с топологией равномерной схо-
димости на компактах. Докажите, что естественное отображение V -# V
является изоморфизмом для любого пространства Фреше.
Задача 1.3. Пусть M - поверхность с b 1 (M) = 1, универсальное накры-
тие которой изоморфно C 2
\0 (такая поверхность называется поверхность
Хопфа). Выберем какую-нибудь метрику Годушона на M . Будет ли TM
стабильно относительно этой метрики?
Задача 1.4. Пусть M поверхность Хопфа, с заданной на ней метрикой
Годушона, а KM { каноническое расслоение. Докажите, что deg KM < 0.
Задача 1.5. Пусть (M; !) { 3-мерное компактное комплексное эрмитово
многообразие, удовлетворяющее d(! 2 ) = 0 и dd c ! = 0. Докажите, что d! =
0.
Задача 1.6. Пусть (M; !) компактное комплексное эрмитово многообра-
зие, удовлетворяющее d! = !# для какой-то замкнутой 1-формы  (такое
многообразие называется локально конформно кэлеровым). Предположим,
что  не точно. Докажите, что M не допускает кэлеровой метрики.
Задача 1.7. Пусть M комплексная поверхность без кривых, а F фильтру-
емое 2-мерное расслоение. Докажите, что F это расширение линейного рас-
слоения с помощью линейного.
Задача 1.8. Пусть M - компактное, комплексное n-мерное многообразие,
не допускающее эрмитовой метрики ! с dd c ! = 0. Докажите, что на M
существует dd c -точный, положительный (n - 1; n - 1)-поток.
Задача 1.9. Пусть M комплексная, кэлерова поверхность, а  # H 1;1 (M) {
вещественный класс когомологий. Докажите, что класс  не кэлеров тогда
и только тогда, когда существует ненулевой положительный, замкнутый
(1,1)-поток , удовлетворяющий #; # # 0.
НМУ, весна 2009 { 1 { version 1.0, 15.05.2009