Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/analiz2_6.ps Дата изменения: Wed May 6 17:39:49 2009 Дата индексирования: Fri Oct 16 23:21:48 2009 Кодировка: koi8-r

Математический анализ, 1 курс 19.03.2009
6. Гладкие отображения и подмногообразия
Пусть U | открытое множество в R N , x 0 # U . Напомним (см. 2-й листок), что ка-
сательным пространством к U в x 0 называется множество T x 0
U всех пар (x 0 ; ), где
 # R N . Оно является N-мерным векторным пространством относительно операций
(x 0 ; ) + (x 0 ; ) = (x 0 ;  + ) и (x 0 ; ) = (x 0 ; ) (где  # R).
В следующей задаче пространство T x 0
U отождествляется (как множество, но не как
векторное пространство!) с R N посредством отображения (x 0 ; ) ## x 0 + .
Задача 1. Пусть M | гладкое подмногообразие в R N размерности n (см. предыду-
щий листок), m = N - n. Зафиксируем точку x 0 # M , окрестность U # x 0 и гладкое
отображение F : U # R m ранга m такие, что M # U = {x # U : F (x) = 0}. Убеди-
тесь, что определение касательного пространства T x0 M , данное на лекции, эквивалентно
следующему: T x 0
M = Ker # dF (x 0 ) : T x 0
U # T F (x 0 ) R m
# . В частности, T x0 M | векторное
подпространство в T x 0
U .
Задача 2. Пусть M | гладкое подмногообразие в R N размерности n. Зафиксируем точку
x 0 # M , окрестность U # x, открытое множество V # R n и гладкое отображение ' : V #
U ранга n такие, что M # U = '(V ) и ' : V # '(V ) | гомеоморфизм (см. задачу 4.4 из
предыдущего листка). Докажите, что T x 0
M = Im # d'(v 0 ) : T v 0
V # T x 0
U # , где v 0 = ' -1 (x 0 ).
Определение. Пусть M # R m , N # R n | гладкие подмногообразия. Будем говорить,
что отображение f : M # N принадлежит классу C p (где 1 # p # #), если оно продол-
жается до отображения ~
f : U # R n класса C p , где U # R m | некоторая окрестность M .
Определение. Пусть M # R N | гладкое подмногообразие, x 0 # M , f и g | гладкие
функции, определенные в некоторых окрестностях x 0 . (Здесь слово ЂокрестностьЃ озна-
чает Ђокрестность в M Ѓ, т.е. содержащее x 0 множество вида U = M # V , где V # R N
открыто.) Будем называть f и g эквивалентными в x 0 , если они совпадают в некоторой
(возможно, меньшей) окрестности x 0 . Класс эквивалентности функции f называется ее
ростком в x 0 . Множество всех ростков бесконечно гладких функций в x 0 обозначается че-
рез C #
x 0
. Оно очевидным образом наделяется структурой алгебры: сумма (произведение)
ростков | это, по определению, росток их суммы (произведения).
Задача 3. Обозначим через m x 0
идеал в C #
x 0
, состоящий из всех ростков f , для которых
f(x 0 ) = 0. Через m 2
x 0
обозначим линейную оболочку ростков вида fg, где f; g # m x 0
.
Постройте изоморфизмы между следующими векторными пространствами:
1) касательное пространство T x 0
M ;
2) пространство всех линейных функционалов D : C #
x 0 # R, удовлетворяющих условию
D(fg) = D(f)g(x 0 ) + f(x 0 )D(g) для всех f; g # C #
x 0
;
3) пространство (m x 0
=m 2
x 0
) # .
Задача 4. Может ли открытое подмножество R n быть диффеоморфным открытому под-
множеству R m при m #= n?

Задача 5. Разложите диффеоморфизмы
1) (x; y) ## (x + y 2 ; y + x 2 ) в окрестности точки (0; 0) и
2) (x; y; z) ## (x cos y cos z; x cos y sin z; x sin y) в окрестности точки (1; 0; 0)
в композицию простейших (т.е. меняющих только одну координату).
Задача 6. Пусть U # R n | открытое подмножество, f : U # R m | отображение класса
C 1 . Докажите, что для любой точки x 0 # U найдется такая окрестность V # x 0 , что
rk x f # rk x0 f для всех x # V . Может ли случиться так, что rk x f > rk x 0
f для всех x #= x 0 ?
Задача 7. (Зонтик Уитни). Найдите критические точки отображения R 2
# R 3 ; (x; y) ##
(xy; y; x 2 ) и нарисуйте его образ.
Задача 8. Докажите, что если отображения f : U # E и g : V # F (где U; V # R n
и E; F # R | открытые подмножества) C 2 -эквивалентны и x 0 # U | невырожденная
критическая точка f , то соответствующая ей точка y 0 # V является невырожденной
критической точкой g.
Задача 9. Пусть U # R n | окрестность нуля и f # C p (U) | функция вида f = # i x i g i ,
где x 1 ; : : : ; x n | координаты в R n и g i | некоторые функции на U . Докажите, что g #
C p-1 (U) и g i (0) = f #
x i
(0).
Задача 10. Пусть U # R n | открытое множество, x 0 # U | невырожденная критиче-
ская точка функции f # C 2 (U ), g(x) = # i  i (x i ) 2 , где  i = ±1, | морсовская форма f
(т.е. квадратичная форма, C 2 -эквивалентная f в окрестности x 0 ). Как найти сигнатуру
формы g (т.е. число положительных и отрицательных  i ), зная тейлоровское разложение
f в x 0 ?
Задача 11. Пусть f(x; y) = e x + e y
- e x+y . Укажите однородный многочлен, которому f
эквивалентна в окрестности точки 1) (0; 0); 2) (1; 1).
Задача 12. Пусть f(x; y) = sin(x 2
-y 2 ). Приведите f в окрестности точки (0; 0) к морсов-
скому виду (т.е. укажите квадратичную форму, которой f эквивалентна в окрестности
точки (0; 0) и укажите диффеоморфизм, осуществляющий эту эквивалентность).